推导光的多普勒效应公式·比航专ppt更符合直觉

一、光的多普勒效应公式

如上图所示，运动的光波源发出的光线在传播到观测者的过程中发生了频率的改变。这可以定量化地表示为

其中，为接受频率，为发送频率；为波源匀速运动方向和波传播方向地夹角，而可以表示为

为波源在观测者参照系下运动速度。

二、推导思路

求解光波的频率，其实等价于求解光波的周期；光波的周期，其实是波源发出两束波峰的时间间隔，或者是观测者接受两束波峰的时间间隔。很明显，前者对应着发送频率，后者对应着接受频率。求出两个时间间隔，便能得出光波频率变化的情况，也就能得出光的多普勒效应的方程。

需要注意的是，我们计算发送波峰的时间间隔的时候，需要在波源自身的参照系下进行；计算接受波峰的时间间隔时，需要在观测者自身的参考系下进行。因为我们知道，在相对论世界下，时间间隔是相对的，只有自身参照系下测量的时间间隔是靠谱的。

三、从简单的相向运动入手。

1、

现在讨论波源以恒定速度v朝向观测者运动的情况。

建立坐标系S，S相对观测者静止，且观测者位于。

建立坐标系S'，S'相对波源静止，且波源位于S’系下原点。

假设S‘系和S系重合时，各自的时间均为0。此时，波源向观测者发出了第一束波峰。则第一次发出时间和满足

（这里我们人为规定S系下的空间位置坐标和时间都不带“ ' ”，而S'系下的空间位置坐标和时间都带“ ' ”，而两者表示同一事件。）

 那么在S系下考察，我们可以轻而易举地得到S系下观测者接受第一个波峰的时间，记为，满足

2、

第一个波峰的发出时间和接收时间已经确定，接下来算出第二个波峰的发出和接受时间即可。S'系下，经过T'时间，波源发出第二束波峰。而在S系下观测，发出第二束光波的时间满足

其中，按照约定，和分别是S'系下观测的发出第二束波峰的时刻和位置。（t2为缩略的transport2，意思是第二次发出波峰这一事件，而“ ' ”又意味着这是在S'系下的观测结果，其他发生的事件，也按照如此的方式描述）

代入数据得

 (这里你可以看到，由于在S‘系下波源静止在原点，它经历的两次发出波峰的时间间隔为固有时，所以可以直接用时间膨胀效应的公式来处理)

所以，在S系下观测，第二次发出波峰时，波源的位置满足

然后，由于已经得知第二次发出波峰S系下的时刻和位置，我们就可以机械地计算观测者收到波峰的时间

接下来算出观测者接受波峰的时间间隔即可，有

那么就有了

(显然，笔者省略了中间的推导过程，但所有的物理逻辑已经完备，进行一定的数学处理就可以得到这个结果)

注意，对比文章第一节给出的公式

我们不难发现，这一节推导的结果就是取值为0的特殊情况！

四、推广到一般情况

1、

现在讨论波源以恒定速度v朝向观测者运动的情况。

建立坐标系S，S相对观测者静止，且观测者位于。

建立坐标系S'，S'相对波源静止，且波源位于S’系下原点。

 还是和上次一样，我们假设S‘系和S系重合时，各自的时间均为0。此时，波源向观测者发出了第一束波峰。则第一次发出时间和满足

由于波源发出波峰的情况是与观测者位置坐标没有关系的，所以第二次发出波峰的位置和时间满足

2、

接下来考虑S系下波峰传播到观测者的路径长度，即可算出S系下第一次和第二次接收波峰的时刻

第一次路径长度满足

第二次路径长度满足

注意，由于两次发出波峰的间隔时间趋向于0，所以趋向于0，的平方项已经作为高阶无穷小省略，而第二个等号还蕴含了伯努利不等式型取近似，具体而言如下

那么，观测者在S系下两次接受波峰时间间隔就很好求了，如下

这可以化简为

易得

得证！

五、为什么要这么建立坐标系

使用相对论变换，建立的坐标系应该契合标准模型。我们不是在造轮子，而是让自己的逻辑契合轮子。所以必须满足S‘系相对S系沿S系x轴正方向以某一恒定速度运行。