Finger点评：我们普通人受到的数学教育，一般都是教你怎样得出正确的答案；再好一点的，怎样快速巧妙地得出正确的答案。而很少有人告诉我们，这些巧妙的思考过程是怎么被想出来了，它们又是否存在思维上的共性。而《怎样解题》这本书则从定义和分析未知量出发，带我们完整体验了一趟数学推理之旅。书中所举的例子均来源于初等数学知识，相信对大多数读者来说均无阅读障碍。
作者介绍
George Polya（乔治·波利亚），1887年出生于匈牙利，著名数学家和数学教育家。曾任苏黎世工业大学教授。1940年移居美国，历任布朗大学和斯坦福大学教授、美国国家科学院院士、美国艺术和科学学院院士。其数学研究涉及复变函数、概率论、数论、数学分析、组合数学等领域。长期从事数学教学，对数学思维的一般规律有深入的研究，这方面的名著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，被译为多国文字广为流传。
解决问题的四个阶段
阶段一：理解题目
Finger点评：这个阶段就是我们常说的审题。本阶段的核心是围绕未知量来建立问题空间。首先把已知量和未知量分门别类地择（zhai）出来，并妥当地安放在用数学语言表述的问题空间中。一旦安放完毕，就意味着建立起了由实际问题到数学问题的映射。一般来说，能建立起正确的映射，就说明学生对题意的理解正确了。
思考点：
> 未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？
> 条件有可能满足吗？条件是否足够确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？
> 画一张图，引入适当的符号
> 将条件的不同部分分开。你能把它们写出来吗？
例子：已知长方体的长、宽、高，求它的对角线长度。
教师和学生的对话可以像下面这样展开：
“未知量是什么？”
“这个长方体的对角线的长度。”
“已知数据是什么？”
“此长方体的长、宽和高。”
“引入适当的符号。用哪个字母表示未知量？”
“x。”
“你选哪些字母来表示长、宽和高？”
“a、b、c。”
“联系a、b、c与x的条件是什么？”
“x是长为a，宽为b，高为c的长方体的对角线的长度。”
“这是一个合理的题目吗?我的意思是，条件是否足以确定未知量？”
“是的。如果我们已知a、b、c，我们就知道了长方体。如果长方体被确定，其对角线也就被确定了。”
阶段二：拟订方案
Finger点评：这个阶段就是一个trial and error的过程。虽然很多人可能不服气，觉得我这种说法侮辱了数学的严谨性。但是波利亚在书中也说：“通过研究解题的方法，我们觉察到了数学的另一面... 它既是欧几里得的严谨科学，但同时也是别的。以欧几里得方式表现出来的数学看上去是一种系统的演绎科学；但在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的归纳科学。这两个方面都如同数学科学本身一样古老，但是第二个方面从某种意义上来说又是新的，因为我们正处于创造过程中的数学从未完全以这种方式呈现给学生或教师自己，乃至一般的公众。”
思考点：
> 你以前见过它吗？或者你见过同样题目以一种稍有不同的形式出现吗？
> 你知道一道与它有关的题目吗？你知道一条可能有用的定理吗？
> 观察未知量！并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目
> 这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过。你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了有可能应用它，你是否应该引入辅助元素？
> 你能重新叙述这道题目吗？你还能以不同的方式叙述它吗？
> 回到定义上去。
> 如果你不能解所提的题目，先尝试去解某道有关的题目。你能否想到一道更容易着手的相关题目？一道更为普遍化的题目？一道更为特殊化的题目？一道类似的题目？
> 你能解出这道题目的一部分吗？只保留条件的一部分，而丢掉其他部分，那么未知量可以确定到什么程度？它能怎样变化？你能从已知数据中得出一些有用的东西吗？你能想到其它合适的已知数据来确定该未知量吗？你能改变未知量或已知数据，或者有必要的话，把两者都改变，从而使新的未知量和新的已知数据彼此更接近吗？你用到所有的已知数据了吗？你用到全部的条件了吗？你把题目中所有关键的概念都考虑到了吗？
教师和学生的对话可以像下面这样展开：
“你们知道一道与它有关的题目吗？”
“（沉默）......”
“观察未知量！你们是否知道有哪一道题目和这一题目有相同的未知量？”
“（沉默）......”
“那么。未知量是什么？”
“长方体的对角线。”
“你们知道有什么题目和这一题目有相同的未知量吗？”
“不知道，我们从来没碰到关于长方体的对角线的题目。”
“你们知道有什么题目和这一题目有相似的未知量吗？”
“（沉默）......”
“你们看，对角线是一条线段，是一条直线的一部分。难道你们从未做过未知量是一条线段长度的题目吗？”
“我们当然做过这样的题目。比如说求一个直角三角形的一条边。”
“很好！这里有一道题目和你们的题目有关而且以前解过。你们能利用它吗？”
“（沉默）......”
“非常幸运的是，你们能想起一道与你们现在要解的题目有关，并且你们以前曾经解答过的题目。你们想要在这里应用它吗？为了有可能应用它，你们是否应该引入某个辅助元素？”
“（沉默）......”
“往这儿看，你们所记得的题目是关于一个三角形的。在你们现在的图形里有没有三角形呢？”
（如果就连如此明确的暗示仍不足以使学生茅塞顿开，教师就必须准备采用一整套越来越明显的暗示）“你们是否希望在这题的图中有一个三角形呢？”
“在这个图中，你们希望有一个什么样的三角形呢？”
“你们还不能求出对角线，但你们说过能够求出三角形的一条边。那么，现在你们该做什么呢？”
“如果这里的对角线同时又是一个三角形的一条边的话，那么你们能把它求出来吗？”
（最后，学生们在或多或少的帮助下，成功引入具有决定性的辅助元素，即图1中用阴影强调的那个直角三角形。这时，教师还必须首先使自己确信学生对该题已经有了足够深的理解后，才能鼓励他们着手进行实际的计算）“我认为在图中把那个三角形画出来是一个很好的主意。你们现在有了一个三角形，但是你们有没有找到未知量呢？”
“未知量就是这个三角形的斜边，我们可以用勾股定理把它计算出来。”
“如果两条直角边都是已知的，你们是会计算的，但是它们是否已知呢？”
“其中一条直角边是给定的，就是c。至于另外一条，我想也不难求出。对了，这条直角边又是另一个直角三角形的斜边。”
“太棒了！现在我知道你们已经有了一个方案了。”
阶段三：执行方案
Finger点评：此阶段相对简单，波利亚强调要让学生明确每一步推理的正确性。
思考点：
> 执行你的解题方案。检查每一个步骤。你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？
> 你能否证明它是正确的？
（执行过程：引入一个新的符号y来表示长方体底面直角三角形的斜边。则有如下等式——）
如果学生能正确执行每一个步骤，教师就没有任何理由打断学生，除非是在可能的情况下提醒学生应检查每一个步骤。教师和学生的对话可以像下面这样展开：
“你能明显看出以x、y、c为三边的这个三角形是一个直角三角形吗？”
（学生可能出于直觉回答“能”，但是如果教师对学生的这种确信不满意，并继续问下面这样的问题时，学生可能会感到窘迫）"但是你能证明这个三角形是一个直角三角形吗？"
（因此，教师还是宁可先不提出这个问题，除非整个班级都对立体几何有了一个较好的基本知识。）
阶段四：回顾
Finger点评：这个阶段有点类似我们在项目中讲的“复盘”。波利亚认为，回顾是整个解题过程中最有益的阶段，但往往被学生忽略。通过回顾，学生能够巩固知识并培养解题能力。一个好的教师必须让学生深刻认识到：没有任何一个题目是彻底完成了的。总还会有些事情可以做；在经过充分的研究和洞察之后，我们可以将任何解题方法加以改进；而且无论如何，总可以深化我们对答案的理解。
思考点：
> 你能检验这个结果吗？你能检验这个认证吗？
> 你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？
> 你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？
当学生得出正确的答案后，教师和学生的对话可以像下面这样展开：
“你能检验这个结果吗？”
（没经验的学生可能不知道怎么检验，那么教师可以转而问以下问题）“你用到所有已知数据了吗？所有三个已知量a、b、c都在你的对角线公式中出现了吗？”
“在我们的题目中，长、宽、高起了相同的作用。我们的题目对于a、b、c都是对称的。你得到的对角线表达式对于a、b、c来说都对称吗？假如a、b、c互换，表达式是否保持不变？”
“我们的题目是一个立体几何题目：求一个三边a、b、c都给定的长方体的对角线长。这个题目和一道平面几何题目相似：求一个两边a、b都给定的长方形的对角线长。我们的‘立体’几何题目的解答与我们的‘平面’几何题目的解答是否相似？”
“假如高c缩短，直至最后消失，那么长方体就变成了一个长方形。如果你在你的对角线公式中令c=0，你是不是就得到了求长方形对角线的正确公式呢？”
“如果高c增加，对角线也将变长。你的公式是否也表明了这一点？”
“如果长方体的三个量度a、b、c都等比例地增长，那么对角线也将以与此相同的比例增长。假如在你的公式中分别以12a、12b、12c来代替a、b、c，对角线长的表达式相应地也应乘以12，是不是这样？”
“如果a、b、c是以英尺为计量单位，那么你的公式给出的对角线长计量单位也应是英尺，但是如果你把所有计量单位都改成英寸，公式仍应成立。是这样吗？”
（最后这两个问题的实质是一致的，都属于量纲检验）
总结
教师提问的原则
除了上面列出的具体问题，波利亚给出了两条教师提问的原则，分别是：
> 建议必须是简单和自然的
> 建议必须是普适的，不仅适用于当前题目，也适用于任何一种类型的题目
顺便说一句，本书中教师提到的方法，波利亚将其称之为“heuristic”。这个名称没有特别贴切的中文翻译，一般称之为“启发式”方法，也就是说，按照一定的专家（先验）经验，对研究对象进行深入的探索。这倒是让我想起了在《理想国》中苏格拉底不厌其烦地从各个角度论证何为“justice”。我们聪明的古代先贤是不屑于做这种看上去又死脑筋又出力不讨好的事情的。只需给出许多令人眼花缭乱的比喻，然后得出一个宽泛的结论。至于能得出什么具体的结论，那就要靠你自己去悟了。所以说，数学是一个很好的训练逻辑思维的工具。
好问题与坏问题
波利亚认为，如果一个问题过于具体，那么它可能带来两方面不好的结果：1）对于已经接近答案的学生，这个问题的暗示过于明显，无法带来后续的深入思考；2）对于不理解的学生，他可能完全不明白这个问题的目的是什么。因此，过于具体的问题是一个坏问题。
读《怎样解题》这本书，我学到的却不仅仅是怎样解数学题，更重要是怎样解决问题。这就是我推荐这本书的理由。
我是Finger，关注心理学、儿童教育，以及人类数字化生存，喜欢写作，旅游，如果你对我的文章感兴趣，欢迎留言与我交流。