概率论公式大全

概率论公式大全

第一章 基本概念

古典概型

1. $P(AB)=P(A\cap B)$

2. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

3. $ifA\subset B,thenP(B-A)=P(B)-P(A)$

4. $P(\overline{A})=P(S-A)=1-P(A)$

5. n封信都装错的概率

   $p=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{(-1{)}^n}{n!}$

条件概率

1. $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$
2. 由1得$\Rightarrow P(AB)=P(A)P(B|A)$
3. 贝叶斯公式(必考)
   假设事件A可以划分成$A_1,A_2,A_3...A_n$ 块区域,则
   $P(A_i|B)=\frac{P(A_{i}B)}{P(B)}=\frac{P(A_{i}B)}{\sum _{j=1}^{n}P(A_{j}B)}=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum _{j=1}^{n}P(B|A_j)P(A_j)}$

独立性

1. 如果$P(AB)=P(A)P(B)$ ,则,A,B相互独立

第二章 随机变量

各大分布

分布	概率密度函数	分布函数	表示
均匀分布	$f_X(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b-a}a⩽x⩽b\\ 0else\end{array}$	$F_X(x)=\{\begin{array}{l}1x>b\\ \frac{x-a}{b-a}a⩽x⩽b\\ 0x<a\end{array}$	$U(a,b)$
(0-1)分布	$f_X(x)=(1-p{)}^k{p}^{1-k}k=0,1$
二项分布	$f_X(x)=C_n^k(1-p{)}^{n-k}{p}^{k}k=0,1,2....n$		$b(n,p)$
柏松分布	$f_X(x)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}k=0,1,2...\lambda =n{p}_n$		$\pi (n,p)$
指数分布	$f_X(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\theta }{e}^{-\frac{x}{\theta }}x>0\\ 0else\end{array}$	$F_X(X=x)=1-e^{-\frac{x}{\theta }}$
正态分布	$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$		$N(\mu ,{\sigma }^2)$

概率密度函数

1. $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$

2. $\Phi (x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt,f(t)为正态分布$

随机变量函数密度

1. 已知x的密度分布,求$y=g(x)$的概率密度函数,则$x=h(y)$

   $f_Y(y)=f_X[h(y)]|h^{\prime }(y)|$

第三章 多维随机变量

边缘分布

1. $f(x,y)=P(X=x)P(Y=y)$
2. $f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$
3. $f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$

条件分布

1. $F_{X|Y}(x|y)=P\{X⩽x|Y=y\}=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$

2. 二维正态分布$(X,Y)-N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$

   $f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{e}^{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}((\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}{)}^2-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}{)}^2)}$

相互独立的随机变量

1. 如果$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ ,则两个变量相互独立

随机变量函数分布

1. 如果$z=x+y$ ,则$f_{X+Y}(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx$
2. 如果$z=x-y$ ,则$f_{X-Y}(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(z+y,y)dy$

第四章 数字特征

数学期望

1. $E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$

2. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

3. $E(aX+b)=aE(X)+b$

4. 如果$y=g(x)$,x的概率密度函数为$f(x)$

   则$E(Y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$

   同理得$E[g(X,Y)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x,y)f(x,y)dx$

5. $D(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }(x-E(X){)}^{2}f(x)dx$

6. $D(X)=E(X^2)-E^2(X)$

7. $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$

8. $D(aX+b)=a^{2}D(X)$

9. $Cov(X,Y)=E\{[(X-E(X)][(Y-E(Y)]\}$

10. $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$

11. $\rho =\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$

各大分布数字特征

分布	期望	方差
均匀分布	$\frac{b+a}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$
(0-1)分布	$p$	$p(1-p)$
二项分布	$np$	$np(1-p)$
柏松分布	$\lambda$	$\lambda$
指数分布	$\theta$	${\theta }^2$
正态分布	$\mu$	${\sigma }^2$

$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{u}^{\alpha -1}{e}^{-u}dx$

$\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$

切比雪夫不等式

如果随机变量X,满足$E(X)=\mu ,D(X)={\sigma }^2$,则对任意$\epsilon >0$ 会有

$P\{|x-\mu |⩾\epsilon \}⩽\frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}$

或者

$P\{|x-\mu |<\epsilon \}⩾1-\frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}$

正态分布

1. 设$(X_1,X_2,X_3...X_n)$服从n维正态分布,则$X_1,X_2,X_3...X_n$相互独立与$X_1,X_2,X_3...X_n$两两不相关是等价的

   1. 若$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$, 且X,Y相互独立

   则$aX+bY\sim N(a{\mu }_1+b{\mu }_2,a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2)$

第五章 中心极限定理

1. 设$(X_1,X_2,X_3...X_n)$服从同一个分布,且$E(X)=\mu ,D(X)={\sigma }^2$,那么

   $\frac{\sum _{i=1}^{n}Xi-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }$服从$N(0,1)$标准正态分布

第六章 样本估计

$\chi$分布

1. $X_1,X_2,X_3...X_n$满足标准(0,1)正态分布,则

   ${\chi }^2(n)=X_1^2+X_2^2+...X_n^2$

   $E(X)=nD(x)=2n$

t分布

1. X满足标准(0,1)正态分布,Y满足${\chi }^2(n)$,则

   $t(n)=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$

   t关于y轴对称

F分布

1. X满足${\chi }^2(n_1)$,Y满足${\chi }^2(n_2)$,则

   $F(n_1,n_2)=\frac{X/n_1}{Y/n_2}$

   $F_{\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{1-\alpha }(n_2,n_1)}$

重要分布

$\overline{X}=\frac{\sum _{i=1}^{n}Xi}{n}$,$E(X_i)=\mu ,D(X_i)={\sigma }^2$

$E(\overline{X})=\mu D(\overline{X})={\sigma }^2/nE(S^2)={\sigma }^2$
$S^2=\frac{\sum _{i=1}^n(Xi-\overline{X}{)}^2}{n-1}$

则:

1. $\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$

2. $\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

3. $\frac{\overline{X}-\overline{Y}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$

4. $\frac{\overline{X}-\overline{Y}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n-1)$,其中$S_w=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}$

5. $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

6. $\frac{S_1^2/n_1}{S_2^2/n_2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$

易错

1. 必然事件发生的概率为1，但概率为1的事件不一定为必然事件;同理,不可能事件发生的概率为0，但概率为0的事件不一定为不可能事件
2. 均方差一般指标准差