考研数学——重要函数的泰勒公式和常用等价无穷小

泰勒公式

泰勒公式

设$f(x)$在点$x=0$处$n$阶可导，则存在$x=0$的一个邻域，对于该邻域内的任一点$x$，有
$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

重要函数的泰勒公式

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$

$\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+o(x^2)$

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$

$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+o(x^3)$

处理得到等价无穷小代换

如$x-\sin x=\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$，则$x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3(x\to 0)$

同理有
$$\arcsin x-x\sim \frac{1}{6}{x}^3(x\to 0),\tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3(x\to 0),x-\arctan x\sim \frac{x^3}{3}(x\to 0)$$

常用等价无穷小

当$x\to 0$时，常用的等价无穷小有
$$\sin x\sim x,\tan x\sim x,\arcsin x\sim x,\ln (1+x)\sim x,e^x\sim x$$

$$a^x-1\sim x\ln a,1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2,(1+x{)}^a\sim ax$$

$$x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$$

进一步，可以推出
$$\sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \ln (1+x)\sim e^x-1\sim \frac{a^x-1}{\ln a}\sim \arctan x$$
注：使用时，一般都进行广义化，将$x$替换为趋于0的函数。