浙江大学《机器学习》笔记——神经网络(Neural Network)【上】

写在前面
· 最近在学习《机器学习》. 主要是看浙江大学胡浩基老师的网课，结合周志华老师的西瓜书来学. 为了理清思路和推公式就敲了这样一个读书笔记. 初次学习难免会有错漏，欢迎批评指正. 这份笔记主要用途还是用来自己复习回顾. 当然如果对大家有帮助那就更好了hhh
· 注：神经网络这部分的笔记大部分是基于浙大《机器学习》的逻辑进行整理的.

第5章 神经网络(Neural Network)

· 神经网络的诞生是集体的智慧
· 近年发展迅速，是目前机器学习领域最火的方向.
· 上世纪50-60年代即奠定理论基础.
· 大数据+算力迅速提升，神经网络层数得以提升，性能更好.

接下来以人工神经网络发展历程为线索进行介绍.

一、人工神经网络的提出

1. 神经元的数学模型

1943年，心理学家W.S.McCulloch和数理逻辑学家W.Pitts基于神经元的生理特征，建立了单个神经元的数学模型（$\text{M-P}$模型)

$$y_k=\phi \left(\sum _{i=1}^m{\omega }_{ki}{x}_i+b_k\right)=\phi \left(W_k^{\mathrm{T}}X+b\right)$$

2. 感知机算法(Perceptron Algorithm)

1957年，Frank Rosenblatt从纯数学的度重新考察这一模型，指岀能够从一些输入输出对$(X,y)$中通过学习算法获得权重$W$和$b$.

（1）感知机算法要解决的问题

给定一些输入输出对$(X,y)$，其中$y=\pm 1$，求一个函数，使$f(X)=y$.

设定$f(X)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(W^{\mathrm{T}}X+b)$，从一堆输入输出中自动学习，获得$W$和$b$.

（2）算法流程

输入$(X_i,y_i)(i=1,2,\cdots ,n)$
（1）随机选择$W$和$b$.
（2）取一个训练样本$(X_i,y_i)$
（i）若$W^{\mathrm{T}}{X}_i+b>0$且$y_i=-1$，则$W:=W-X,b:=b-1$;
（ii）若$W^{\mathrm{T}}{X}_i+b<0$且$y_i=+1$，则$W:=W+X,b:=b+1$.
（3）再取另一个$(X,y)$回到（2）.
（4）终止条件：直到所有输入输岀对都不满足（2）中（i）和（ii）之一，退出循环.

与$\text{SVM}$的本质区别：$\text{SVM}$以全局的眼光来看训练样本，而感知机算法则着眼单独的个体，在循环中不断调整参数.

（3）感知机的收敛性（Novikoff定理）

在不断的调整中，是否会出现参数不停震荡而不收敛于某一个值的情况？

Rosenblatt给出了参数能够收敛的证明. 在证明之前，先做一些准备工作.

定义一个增广向量$X$，使得
$$\{\begin{array}{l}\text{若}y=+1,\text{则}X=\left[\begin{array}{c}X\\ 1\end{array}\right]\\ \\ \text{若}y=-1,\text{则}X=\left[\begin{array}{c}-X\\ -1\end{array}\right]\end{array}$$定义增广$W$如下：
$$W=\left[\begin{array}{c}W\\ b\end{array}\right]$$
则算法可改写为：
输入$X_i(i=1,2,\cdots ,n)$
（1）随机选择$W$.
（2）取一个训练样本$X_i$. 若$W^{\mathrm{T}}{X}_i<0$，则$W:=W+X_i$.
（3）再取另一个$X_i$回到（2）.
（4）终止条件：直到所有输入输岀对都不满足.（2）中（i）和（ii）之一，退出循环.

感知机算法收敛定理可表述为：
输入${\left\{X_i\right\}}_{i=1,\cdots ,N}$，若线性可分，即
$$\exists W_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}},\mathrm{s}.\mathrm{t}.W_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}{X}_i>0\left(i=1,2,\cdots ,N\right)$$则利用上述感知机算法，经过有限步后得到一个$W$，使得
$$W^{\mathrm{T}}{X}_i>0\left(i=1,2,\cdots ,N\right).$$

下面给出证明.
证明：
不失一般性，设$\Vert W_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert =1$.
假设第$k$步所得的$W$是$W\left(k\right)$，且有一个$X_i$，使得
$$W^T\left(k\right)X_i<0$$根据感知机算法，有
$$\begin{gathered} W\left(k+1\right)=W\left(k\right)+X_i \\ W\left(k+1\right)-a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}=W\left(k\right)+X_i-a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}} \end{gathered}$$
取模的平方
$${\Vert W\left(k+1\right)-a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert }^2={\Vert W\left(k\right)+X_i-a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert }^2$$$$\begin{array}{rl}{\Vert W\left(k+1\right)-a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert }^2& ={\Vert W\left(k\right)+X_i-a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert }^2\\ & ={\Vert \left(W\left(k\right)-a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\right)+X_i\Vert }^2\\ & ={\Vert W\left(k\right)-a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert }^2+{\Vert X_i\Vert }^2+2W^{\mathrm{T}}\left(k\right)X_i-2a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}^{\mathrm{T}}{X}_i\end{array}$$注意到最后两项
$$W^{\mathrm{T}}\left(k\right)X_i<0,W_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}^{\mathrm{T}}{X}_i>0$$一定可以找到足够大的$a$，使得
$${\Vert X_i\Vert }^2+2W^{\mathrm{T}}\left(k\right)X_i-2a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}^{\mathrm{T}}{X}_i<0$$进而
$${\Vert W\left(k+1\right)-a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert }^2<{\Vert W\left(k\right)-a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert }^2$$
定义
$$\beta =\underset{i=1,...,N}{\max }\Vert X_i\Vert ,\gamma =\underset{i=1,...,N}{\min }{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}{X}_i$$取
$$a=\frac{{\beta }^2+1}{2\gamma }$$则
$${\Vert W\left(k+1\right)-a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert }^2<{\Vert W\left(k\right)-a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert }^2-1.$$
取$D=\Vert W\left(0\right)-a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert$，则至多经过$D^2$步，$W$将会收敛于$a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}.\square$

补充说明：$D$为有限大的证明.
$$\begin{array}{rl}{D}^2& ={\Vert W\left(0\right)-a{W}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert }^2\\ & ={\Vert W\left(0\right)\Vert }^2+a^2{\Vert W_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert }^2-2a{W}^{\mathrm{T}}\left(0\right)W_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\\ & ={\Vert W\left(0\right)\Vert }^2+a^2{\Vert W_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert }^2-2a\Vert W\left(0\right)\Vert \Vert W_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}\Vert \cos \theta \\ & ⩽{\Vert W\left(0\right)\Vert }^2+a^2+2a\Vert W\left(0\right)\Vert \end{array}$$

二、人工智能的第一次寒冬

1. 线性可分概念的提出

Minsky创造了线性可分（不可分）的概念（1969《Perceptron》）. 书中提及日常生活中很多事物是非线性可分的.

例子：识别一个二值图是否全连通（下图例子中，$\text{class 1}$为全连通，$\text{class 2}$不是全连通）.

人们认为既然大多事物非线性可分，而感知机只能解决线性可分的问题，用途较为狭隘，研究它的实际意义不大，导致人工智能发展进入了停滞时期.

三、多层神经网络（Multiple Layer Neural Networks）

想法：使用非线性模型来划分非线性的样本.

这样一个神经网络包含两层. 其中$\phi (\cdot )$是一个非线性函数.

1. $\phi (\cdot )$的作用

若没有$\phi (\cdot )$，会导致输出与输入仍呈线性关系. 具体计算如下：
$$\{\begin{array}{l}{a}_1=w_{11}{x}_1+w_{12}{x}_2+b_1\\ a_2=w_{21}{x}_1+w_{22}{x}_2+b_2\\ z_1=\phi \left(a_1\right)\\ z_2=\phi \left(a_2\right)\\ y=w_1{z}_1+w_2{z}_2+b\end{array}\Rightarrow y=w_1\phi \left(w_{11}{x}_1+w_{12}{x}_2+b_1\right)+w_2\phi \left(w_{21}{x}_1+w_{22}{x}_2+b_2\right)$$如果没有$\phi (\cdot )$，显然$y$是关于$x_1,x_2$的线性函数. 虽学习的参数多了，但与单层的神经网络的学习结果没有任何区别. $\phi (\cdot )$叫作激活函数.

2.激活函数$\phi (\cdot )$的选取——阶跃函数.

原因：如果非线性函数用阶跃函数，那么三层神经网络可以模拟任意的非线性函数，说明如下.

【例1】 考虑平面上的三角形区域$C_1$与其外部区域$C_2$. 规定直线划分平面包含$C_1$的一侧，直线方程左侧$>0$.

构建如下图所示的两层神经网络：

要使得输出$y=1$（表示$(x_1,x_1)\in C_1$），则需要$w_1,w_2,w_3$全为$1$，否则输出$y=0$. 那么只需设置参数$b=-2.5$即可.

【例2】 若$C_1$为四边形？

构建如下图所示的两层神经网络：

【例3】 若$C_1$为圆形？
考虑用无数条数直线分割区域，那么将会有无穷多个神经元.

【例4】 若$C_1$为不连通的图形？

构建如下图所示的三层神经网络：

接下来还需要解决两个问题：
① 如何只通过数据来获得神经网络的参数？
② 每一层神经元个数，神经网络的层数如何设计？
目前还没有完备的理论来回答这两个问题. 很多时候是依靠不断的实验与经验来解决.

四、后向传播（Back Propagation）算法

核心思想：梯度下降法求局部极值（Gradient Descent Method）.

1. 梯度下降法

$Step1:$ 找一个$w_0$.
$Step2:$ 设$k=0$，若
$${\frac{\mathrm{d}f\left(w\right)}{\mathrm{d}w}|}_{w_k}=0,$$则退出循环. 否则
$$w_{k+1}=w_k-\alpha {\frac{\mathrm{d}f\left(w\right)}{\mathrm{d}w}|}_{w_k}$$重复$Step2$.
其中$\alpha >0$，称作步长或学习率，每步的步长可不同.

附：西瓜书P407对梯度下降法的介绍.

2. BP算法

（1）算法描述

输入${\left\{\left(X_i,Y_i\right)\right\}}_{i=1,\cdots ,N}$.
针对输入$(X,Y)$，定义优化函数
$$E=\frac{1}{2}{\left(y-Y\right)}^2.$$
$Step1:$ 随机取
$$\left(\begin{array}{ccccccccc}{w}_{11}& w_{12}& w_{21}& w_{22}& b_1& b_2& w_1& w_2& b\end{array}\right)$$

$Step2:$ 对所有$w$，求$\frac{\partial E}{\partial w}$;
对所有$b$，求$\frac{\partial E}{\partial b}$;

$Step3:$ 计算
$$\{\begin{array}{c}{w}^{\left(\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}\right)}:=w^{\left(\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}\right)}-\alpha {\frac{\partial E}{\partial w}|}_{w^{\left(\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}\right)}}\\ b^{\left(\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}\right)}:=b^{\left(\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}\right)}-\alpha {\frac{\partial E}{\partial b}|}_{b^{\left(\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}\right)}}\end{array}$$

$Step4:$ 当所有的
$$\frac{\partial E}{\partial w}=\frac{\partial E}{\partial b}=0$$时，退出循环.

（2）如何计算$\frac{\partial E}{\partial w},\frac{\partial E}{\partial b}$？

$$\{\begin{array}{l}{a}_1=w_{11}{x}_1+w_{12}{x}_2+b_1\\ a_2=w_{21}{x}_1+w_{22}{x}_2+b_2\\ z_1=\phi \left(a_1\right)\\ z_2=\phi \left(a_2\right)\\ y=w_1{z}_1+w_2{z}_2+b\end{array}$$

首先计算$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}y}$，即
$$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}y}=y-Y.$$然后计算
$$\begin{gathered} \frac{\partial E}{\partial a_1}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\partial y}{\partial z_1}\cdot \frac{\mathrm{d}{z}_1}{\mathrm{d}{a}_1}=\left(y-Y\right)w_1{\phi }^{\prime }\left(a_1\right), \\ \frac{\partial E}{\partial a_2}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\partial y}{\partial z_2}\cdot \frac{\mathrm{d}{z}_2}{\mathrm{d}{a}_2}=\left(y-Y\right)w_2{\phi }^{\prime }\left(a_2\right). \end{gathered}$$其余偏导数
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial E}{\partial b}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\partial y}{\partial b}=y-Y\\ \frac{\partial E}{\partial w_1}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\partial y}{\partial w_1}=\left(y-Y\right)z_1\\ \frac{\partial E}{\partial w_2}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\partial y}{\partial w_2}=\left(y-Y\right)z_2\\ \frac{\partial E}{\partial w_{11}}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}{a}_1}\cdot \frac{\partial a_1}{\partial w_{11}}=\left(y-Y\right)w_1{\phi }^{\prime }\left(a_1\right)x_1\\ \frac{\partial E}{\partial w_{12}}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}{a}_1}\cdot \frac{\partial a_1}{\partial w_{12}}=\left(y-Y\right)w_1{\phi }^{\prime }\left(a_1\right)x_2\\ \frac{\partial E}{\partial b_1}=\left(y-Y\right)w_1{\phi }^{\prime }\left(a_1\right)\\ \frac{\partial E}{\partial b_2}=\left(y-Y\right)w_2{\phi }^{\prime }\left(a_2\right)\\ \frac{\partial E}{\partial w_{21}}=\left(y-Y\right)w_2{\phi }^{\prime }\left(a_2\right)x_1\\ \frac{\partial E}{\partial w_{22}}=\left(y-Y\right)w_2{\phi }^{\prime }\left(a_2\right)x_2\end{array}$$

偏导数计算由后到前（包括三个重要节点偏导数，以及其余各点的偏导数），因此叫作“后向传播”.

（3）激活函数$\phi (\cdot )$的选取

若$\phi (x)$仍取阶跃函数，那么其导数除了在$x=0$处为无穷大以外，其余皆为$0$，无法应用在BP算法中. 因此需要选取其他的$\phi (\cdot )$.

$\phi (\cdot )$有以下几种常见的选取方法：

① $\text{Sigmoid}$函数

$$\phi \left(x\right)=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}$$其导数具有良好性质：
$$\begin{array}{rl}{\phi }^{\prime }\left(x\right)& =\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{{\left(1+{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2}=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}\cdot \frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}\\ & =\phi \left(x\right)\left[1-\phi \left(x\right)\right].\end{array}$$

其模拟了阶跃函数的图象特征，并且导数容易计算. 同时，也能证明使用其作为激活函数的三层神经网络能够模拟所有决策面.

② 双曲正切函数 $\tanh (x)$

$$\phi \left(x\right)=\tanh \left(x\right)=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}$$并且
$${\phi }^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{{\cosh }^2\left(x\right)}=1-{\left[\phi \left(x\right)\right]}^2$$可以证明使用其作为激活函数的三层神经网络能够模拟所有决策面.

以下是深度学习中常用的激活函数.

③ 线性整流函数(Rectified Linear Unit, ReLU)

$$\begin{array}{rl}& \phi \left(x\right)=\{\begin{array}{c}x,x>0\\ 0,x⩽0\end{array}=\max \left\{0,x\right\}\\ & {\phi }^{\prime }\left(x\right)=\{\begin{array}{c}1,x>0\\ 0,x⩽0\end{array}\end{array}$$

与Sigmoid相比，ReLU的特点
① 避免Sigmoid函数的“梯度消失”;
② 稀疏激活性;
③ 运算速度快;
…

④ Leaky ReLU

（4）用数学形式表示EP算法

神经网络可用矩阵形式表示如下：
$$\begin{array}{rl}\underset{\text{向量}}{X}=a^{\left(0\right)}& \stackrel{\text{输入}}{}\underset{M\times N}{W^{\left(1\right)}}\underset{N\times 1}{a^{\left(0\right)}}+\underset{M\times 1}{b^{\left(1\right)}}=\underset{M\times 1}{z^{\left(1\right)}}\stackrel{\phi }{}\underset{M\times 1}{a^{\left(1\right)}}\\ & \stackrel{\text{进入第二层神经网络}}{}{z}^{\left(2\right)}=W^{\left(2\right)}{a}^{\left(1\right)}+b^{\left(2\right)}\stackrel{\phi }{}{a}^{\left(2\right)}\\ & \stackrel{\text{进入第三层神经网络}}{}{z}^{\left(3\right)}=W^{\left(3\right)}{a}^{\left(2\right)}+b^{\left(3\right)}\stackrel{\phi }{}{a}^{\left(3\right)}\\ & \stackrel{\text{进入第四层神经网络}}{}\cdots \\ & \stackrel{\text{进入第}l\text{层神经网络}}{}{z}^{\left(l\right)}=W^{\left(l\right)}{a}^{\left(l-1\right)}+b^{\left(l\right)}\stackrel{\phi }{}{a}^{\left(l\right)}\\ & \stackrel{\text{输出}}{}y=a^{\left(l\right)}=\phi \left(z^{\left(l\right)}\right)\end{array}$$

备注：此处的$z、a$与（2）中记号相反，以下的推导以此处符号为准.

一些参数说明如下：
① 层数：$l$;
② $z^{\left(k\right)},a^{\left(k\right)},b^{\left(k\right)}$是第$k$层的列向量，其维数等于第$k$层神经元个数;
③ $z_i^{(k)},a_i^{(k)},b_i^{(k)}$是数，分别表示$z^{\left(k\right)},a^{\left(k\right)},b^{\left(k\right)}$的第$i$个分量;
④ $y_i$表示$y$的第$i$个分量.

BP算法：
$Step1:$ 随机初始化$(W,b)$.
$Step2:$ 训练样本$(X,Y)$，代入网络，可求出所有的$(z,a,y)$. （前向传播(Forward Propagation)）
$Step3:$ 链式法则求偏导.
定义目标函数
$$\min E=\frac{1}{2}{\Vert y-Y\Vert }^2=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m{\left(y_i-Y_i\right)}^2$$求所有的
$$\frac{\partial E}{\partial w},\frac{\partial E}{\partial b}.$$
记关键节点
$${\delta }_i^{\left(m\right)}=\frac{\partial E}{\partial z_i^{(m)}}$$那么
$$\begin{array}{rl}& ①{\delta }_i^{\left(l\right)}=\frac{\partial E}{\partial y_i}\cdot \frac{\partial y_i}{\partial z_i^{(l)}}=\left(y_i-Y_i\right){\phi }^{\prime }\left(z_i^{\left(l\right)}\right)（注意该式中所有量已知，可以直接算出值）\\ & ②递推公式:{\delta }_i^{\left(m\right)}=\sum _{j=1}^{S_{m+1}}\left({\delta }_j^{\left(m+1\right)}{w}_{ji}^{(m+1)}\right)\cdot {\phi }^{\prime }\left(z_i^{(m)}\right)\end{array}$$

$Step4:$ 更新
$$\{\begin{array}{l}{W}^{\left(\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}\right)}=W^{\left(\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}\right)}-\alpha {\frac{\partial E}{\partial W}|}_{W^{\left(\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}\right)}}\\ b^{\left(\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}\right)}=b^{\left(\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}\right)}-\alpha {\frac{\partial E}{\partial b}|}_{b^{\left(\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}\right)}}\end{array}$$

注：以上的②是为了求得${\delta }_i^{\left(m\right)}$与${\delta }_i^{\left(m+1\right)}$的关系，由此可以由后往前计算得到各层的${\delta }_i^{\left(m\right)}$，实现反向传播. 具体推导过程如下.
在$m$到$m+1$层过程中，有以下关系
$$z^{\left(m\right)}=W^{\left(m\right)}{a}^{\left(m-1\right)}+b^{\left(m\right)}\stackrel{\phi }{}{a}^{\left(m\right)}\stackrel{\text{进入第}\left(m+1\right)\text{层神经网络}}{}{z}^{\left(m+1\right)}=W^{\left(m+1\right)}{a}^{\left(m\right)}+b^{\left(m\right)}\stackrel{\phi }{}{a}^{\left(m+1\right)}$$因此
$$\begin{array}{rl}{\delta }_i^{\left(m\right)}& =\frac{\partial E}{\partial z_i^{(m)}}=\sum _{j=1}^{S_{m+1}}\left(\frac{\partial E}{\partial z_j^{(m+1)}}\cdot \frac{\partial z_j^{(m+1)}}{\partial z_i^{(m)}}\right)\\ & =\sum _{j=1}^{S_{m+1}}\left({\delta }_j^{\left(m+1\right)}\cdot \frac{\partial z_j^{(m+1)}}{\partial z_i^{(m)}}\right)\\ & =\sum _{j=1}^{S_{m+1}}\left({\delta }_j^{\left(m+1\right)}\cdot \frac{\partial z_j^{(m+1)}}{\partial z_i^{(m)}}\right)\\ & =\sum _{j=1}^{S_{m+1}}\left({\delta }_j^{\left(m+1\right)}\cdot \frac{\partial z_j^{(m+1)}}{\partial a_i^{(m)}}\cdot \frac{\partial a_j^{(m)}}{\partial z_i^{(m)}}\right)\\ & =\sum _{j=1}^{S_{m+1}}\left({\delta }_j^{\left(m+1\right)}\cdot \frac{\partial z_j^{(m+1)}}{\partial a_i^{(m)}}\cdot \frac{\partial a_i^{(m)}}{\partial z_i^{(m)}}\right)\\ & =\sum _{j=1}^{S_{m+1}}\left({\delta }_j^{\left(m+1\right)}\cdot w_{ji}^{(m+1)}\cdot {\phi }^{\prime }\left(z_i^{(m)}\right)\right)\\ & =\sum _{j=1}^{S_{m+1}}\left({\delta }_j^{\left(m+1\right)}{w}_{ji}^{(m+1)}\right)\cdot {\phi }^{\prime }\left(z_i^{(m)}\right)\end{array}$$

至此，最基本的BP算法构建完成. 但在实际应用中还需对算法的每一个步骤进行优化，才能得到性能较好的神经网络.