奇偶性【高数笔记】

【如何判断奇偶性】

1.根据定义：f(x)= - f(-x) 奇函数；f(x)=  f(-x) 偶函数

2.运算法则：四则运算和复合运算

#四则中，奇偶相加为非奇非偶

#复合运算：内偶则偶，内奇看外

3.已知的常识函数：

        奇函数：sinx ,tanx, cotx arcsinx, arctanx, x^(2n-1)

        偶函数：|x|, cosx, x^(2n)

【举例】

1.根据定义：两大种情况，第一，抽象函数，第二，不是常见的函数（指的是不是常识函数，知道其奇偶性）构成的复合函数

如：第一

已知g(x）= f(x) + f(-x），f（x)的定义域为R

解：g（-x）=f（-x）+ f（x）= g（x）

即，g（x）为偶函数

        第二

已知f(x) = 1-ln(2x+1)

解：f（-x）= 1-ln(-2x+1) = 1-ln[-(2x-1)]

即f(x) 为非奇非偶函数

2.运算法则：四则运算和复合运算

如：四则运算

已知f(x) = sinx + x*(cosx)

解：x*cosx  奇偶相乘为奇；sinx + x*(cosx) 奇偶相加为非奇非偶

        复合运算

已知f(x) = sinx^2

解：令y1=sin(y2) ;y2=x^2

即，y1 为外，y2为内，因为y2是偶函数，所以，y1是偶函数，即f（x）=sinx^2为偶函数

已知f(x) = cosx^3+ x

解：令y1=cox(y2) ;y2=x^3, Y=cosx^3

即，y1 为外，y2为内，因为y2是奇函数，所以，要看y1，而y1是偶函数，即Y=cosx^3为偶函数

也即，f(x) = cosx^3+ x 是偶+奇，即为非奇非偶函数