洛谷 P1537 弹珠【多重背包+二进制优化】

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1537

题目描述

玛莎和比尔各自有自己的弹珠收藏。他们想重新分配收藏品，使两人能平等拥有弹珠。如果所有的弹珠的价值相同，那么他们就可以平分。但不幸的是，有一些弹珠更大，或者更美丽，所以，玛莎和比尔给每个弹珠一个 1 到 6 的价值。现在他们想平分这些弹珠，使每个人得到的总价值相同。不幸的是，他们发现，他们可能无法以这种方式分弹珠（即使弹珠的总价值为偶数）。例如，如果有一个价值为 1、一个价值为 3 和两个价值为 4 的弹珠，这样他们就不能把弹珠分为价值相等的两部分。因此，他们想要你写一个程序，告诉他们是否能将所有弹珠分成价值相等的两部分。

输入格式

输入文件有若干行，行中包含六个非负整数 N1​,⋯,N6​，其中 Ni​ 是价值为 i 的弹珠的个数。最大弹珠总数将达到 2e4。

输入文件的最后一行是 0 0 0 0 0 0。不要处理这一行。

输出格式

对于每一组数据，输出 Collection #k:，k为输出的是第几组，接着是 Can be divided. 或 Can't be divided.。

每一组输出后多打一个空行。可以参考样例。

输入输出样例

输入 #1

1 0 1 2 0 0 
1 0 0 0 1 1 
0 0 0 0 0 0 

输出 #1

Collection #1:
Can't be divided.

Collection #2:
Can be divided.

解题思路：

首先这里有6种弹珠，每种弹珠的价值为从1到6，每种弹珠有多个，我们需要将这些物品分为俩部分，使得俩部分的价值相同，也就是说现在有俩个人来分这些弹珠，每个人要分得一半价值的弹珠，假设所有弹珠的价值总和为sum，就转换为了要从其中选择若干弹珠，这些弹珠的价值总和为sum/2，看这种选法是否存在。我们可以看到的是有六种弹珠，每种弹珠有多个，从里面选，这不就是经典的多重背包问题吗，多重背包问题的朴素做法时间复杂度为O(n*v*s)，n表示弹珠的种数，v表示弹珠的价值和，s表示每种弹珠的个数，这个题目中,n=6,v=2e4*6,s=2e4，这三个乘起来时间复杂度就达到了1e9,这个时间复杂度是非常高的，肯定过不了，我们考虑一些优化方式，我们考虑多重背包的经典优化二进制优化，可以将时间优化到O(n*v*log(s)),log(s)大概也就是14，所以时间为6*2e4*14,时间大概是1e6，这个时间复杂度是肯定可以过的，多重背包的二进制优化相当于将多重背包问题优化为了01背包问题，然后采用bool类型01背包问题求解即可。

bool类型01背包处理过程

状态定义：

定义f[i][j]表示处理完前i个物品，并且体积刚好为j的选取方案是否存在。

初始化：

f[0][0]=true  选取完前0个物品的体积只能刚好是0

状态转移：

不选择当前物品

f[i][j]=f[i-1][j]

选择当前物品

f[i][j]=f[i][j] || f[i-1][j-v[i]]

最终答案：

答案就是看f[n][sum/2]这个值为true,还是false,为true表示从前n个物品选取，并且体积刚好为sum/2的选取方案存在，否则说明不存在。

时间复杂度：多重背包二进制优化时间复杂度为O(n*v*log(s)),n=6,v=2e4,log(s)大概是14，所以时间大概为1e6,这个时间是肯定可以过的。

空间复杂度：开了一个bool数组f,空间大概是100*2e4*6/1e6=12M，大概只需要12M，题目给了128M,所以空间是肯定足够的。

cpp代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 2e4 + 10;

int s[N];
int v[N];
bool f[100][N * 6];   //bool类型多重背包
int main()
{
    int pos = 0;
    while (true)  //多组测试数据
    {
        pos++;
        bool ok = false;
        int sum = 0;
        for (int i = 1; i <= 6; i++)
        {
            scanf("%d", &s[i]);
            sum += s[i] * i;
            if (s[i] != 0)
                ok = true;
        }
        if (!ok)  //当输入的是6个0的时候代表程序处理结束，跳出while循环
            break;

        if (sum % 2 == 1)   //当总和为奇数，那么不管怎么分都不可能将平分为俩份，注意答案输出的个数不要弄错了
        {
            printf("Collection #%d:\n", pos);
            puts("Can't be divided.");
            puts("");
            continue;
        }
        int cnt = 0;
        for (int i = 1; i <= 6; i++)  //多重背包的二进制优化，优化成01背包
        {
            int x = s[i];
            int k = 1;
            while (k <= x)
            {
                cnt++;
                v[cnt] = k * i;
                x -= k;
                k *= 2;
            }

            if (x)
            {
                cnt++;
                v[cnt] = x * i;
            }
        }

        int n = cnt;

        //01背包的处理过程，01背包空间可以优化为一维，我这里写为二维更方便理解，空间要求如果很高的时候我们这里可以将空间压缩为一维
        //定义f[i][j]表示处理完前i个物品，并且体积刚好为j的方案是否存在，多组测试数据，二维如下写法可以不清空数组
        f[0][0] = true;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 0; j <= sum / 2; j++)
            {
                //不选择当前物品
                f[i][j] = f[i - 1][j];
                //选择当前物品
                if (j >= v[i])
                    f[i][j] = f[i][j] || f[i - 1][j - v[i]];
            }
        //输出答案
        if (f[n][sum / 2])
        {
            printf("Collection #%d:\n", pos);
            puts("Can be divided.");
        }
        else
        {
            printf("Collection #%d:\n", pos);
            puts("Can't be divided.");
        }
        puts("");  //每个测试数据中间要有一个空行，每次输出完一个测试数据的答案时，还要记得输出一个空行
    }
}