计数排序(线性时间排序)

背景

1954年由 Harold H. Seward 提出

基本思想：

假设：计数排序假设n个输入元素中的每一个都是介于0到k之间的整数

举例：10 个年龄不同的人，统计出有 8 个人的年龄比 A 小，那 A 的年龄就排在第 9 位,用这个方法可以得到其他每个人的位置,也就排好了序

年龄有重复时需要特殊处理（保证稳定性） 算法最后一步

优势在于在对一定范围内的整数排序时，它的复杂度为Ο(n+k)（其中k是整数的范围），快于任何比较排序算法

当然这是一种牺牲空间换取时间的做法，而且当O(k)>O(n*log(n))的时候其效率反而不如基于比较的排序

算法基本步骤：

（1）找出待排序的数组中最大和最小的元素

（2）统计数组中每个值为i的元素出现的次数，存入数组C的第i项

（3）对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）

（4）反向填充目标数组：将每个元素i放在新数组的第C(i)项，每放一个元素就将C(i)减去1

计数排序伪代码

正常的思路

COUNT—SORT(A,B,k) 
let C[0..k]be a new array
for i=0 to k 
  C[i]=0
for j=1 to A.length 
  C[A[j]]=C[A[j]]+1 
//C[i]now contains the number of elements equal to i
for i=1 to k 
	C[i]=C[i]+C[i-1] 
//C[i] now contains the number of elements less than or equal to i 
//在这里最终得出的C有这样的规律,A[j]最终应该放在
//下标为C[A[j]-1]+1~C[A[j]]的位置
for j=A.length downto 1
//为了保持稳定性，这里从后面开始遍历了
//如果换成for 1 downto j=A.length,那么元素相等的地方刚好反过来
  B[C[A[j]]]=A[j]
  C[A[j]]=C[A[j]]-1

需要注意的是k为A中的最大值-(A中的最小值-1)

另一种思路

如果第13行，我非得从1开始呢，但又想保持稳定性呢，该如何办

我们记得：

在这里最终得出的C有这样的规律,A[j]最终应该放在下标为C[A[j]-1]+1~C[A[j]]的位置

COUNT—SORT(A,B,k) 
let C[0..k]be a new array
for i=0 to k 
  C[i]=0
for j=1 to A.length 
  C[A[j]]=C[A[j]]+1 
for i=1 to k 
  C[i]=C[i]+C[i-1] 
//这里需要单独处理一下，需要C[-1]=0
//当然下标不可能为负数，我们可以让下标整体都+1就可以解决问题
//这里为了方便与上面思路对照，直接认为C[-1]=0是允许的
C[-1]=0
for j=1 downto A.length
  B[C[A[j]-1]+1]=A[j]
  C[A[j]-1]=C[A[j]-1]+1
//这个思路也是稳定的

计数排序举例(正常思路)

循环1

循环2

循环3

循环4

运行时间

如果 k = O(n), 那么计数排序用的时间为.

•但是, 排序的时间是Ω(nlgn)!

•问题出在什么地方?

答案:

•比较排序 的时间是 Ω(nlgn)  .

•计数排序不是 比较排序.

•实际上, 各项之间根本没有比较!

空间复杂度：O(k)

缺点：m比较大时的复杂度