斐波那契数列（C/C++）

目录

背景介绍

解法1：非数组+非递归

解法2：数组+非递归

解法3：非数组+递归

解法4：数组+递归

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背景介绍

斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）

斐波那契数列（Fibonacci Sequence）又称黄金分割数列。

　　该数列指的是这样的一列数字：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597、2584、4181、6765、10946、17711、28657、46368…

　　特别指出：第0项是0，第1项是第一个1。此数列从第2项开始，每一项都等于前两项之和。

　　在数学上，斐波纳契数列被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2，n∈N*)。

　　在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有着直接的应用。美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载斐波那契数列此方面的研究成果。

斐波那契数列

• 　　斐波那契数列的发明者，意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。

  　　列昂那多·斐波那契于1202年研究兔子产崽问题时发现了此数列。设一对大兔子每月生一对小兔子，每对新生兔在出生一个月后又下崽，假若兔子都不死亡。问：一对兔子一年能繁殖成多少对兔子？

  　　题中本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，为大兔子；新生的兔子不能生殖，为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子，求的是大兔子与小兔子的总和？

  

• 　　十二月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子144+89=233对

  从上表看出：

  　　①每月小兔对数=上月大兔对数

  　　②每月大兔对数等于上个月大兔对数与小兔对数之

  综合①②两点可得：每月大兔对数等于前两个月大兔对数之和　　如果用un表示第n月的大兔对数，则有un=un-1+un-2(n > 2)

  　　每月大兔对数un排成数列为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…

  　　那么此组数列就称为斐波那契数列

  

  END

斐波那契数列通项公式

• 递推公式：

  　　斐波那契数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…

  如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N*)，那么这句话可以写成如下形式：显然这是一个线性递推数列。

  通项公式：

  

• 此公式又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。

  

解法1：非数组+非递归

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b,c;

int main()
{
	a=1;
	b=1;
	for(int i=1;i<=38;i++)//38的原因是已知两个数的值 
	{
		c=a+b;//前一个值+前两个值
		a=b;//值位置的变换 
		b=c;
	}
	printf("%lld",c);
	return 0; 
}

解法2：数组+非递归

时间复杂度约为O（n）

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=41;
ll num[maxn];

int main()
{
	num[1]=1;
	num[2]=1;
	for(int i=3;i<=40;i++)
	{
		num[i]=num[i-1]+num[i-2];
	}
	printf("%d",num[40]);
	return 0;
}

解法3：非数组+递归

时间复杂度约为（2^n）

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
ll step=0,cnt=0;

int Digui(ll step)
{
	cnt++;
	if(step==1||step==2)
	{
		return 1;
	}
	return Digui(step-1)+Digui(step-2);
}

int main()
{
	Digui(40);
	printf("%lld\n%lld",Digui(40),cnt);//答案 递归次数 
	return 0;
}
 

通过cnt计算发现，进行了非常多次数的递归，原因是我们进行了重复计算

 这样二叉树的结构导致进行了大量重复计算，这是我们特别不希望看到的，所以要进行记忆化

解法4：数组+递归

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=41;
ll num[maxn];
ll step=0,cnt=0;
bool vis[maxn];
int Digui(ll step)
{
	cnt++;
	if(step==1||step==2)
	{
		return 1;
	}
	if(!vis[step])
	{
		vis[step]=true;
		num[step]=Digui(step-1)+Digui(step-2);
		return num[step];
	}
	else
	{
		return num[step];
	}
}
int main()
{
	vis[1]=true;
	vis[2]=true;
	num[1]=1;
	num[2]=1;
	Digui(40);
	printf("%lld\n%lld",Digui(40),cnt); 
	return 0;
}
 

这样计算次数会大大降低