【图形学】二维几何变换的一些理论

一些概念

齐次坐标是用n+1维向量表示n维向量，例如点$P(x,y)的齐次化坐标为(wx,wy,w),w为任意不为0的数$如果w取值为1，则称为规范化的齐次坐标。
二维几何变换矩阵
由于二维点的齐次坐标是一个包含三个元素的列向量，那么二维几何变换矩阵就应该是一个3*3的方阵。
T = [ a b e c d f p q s ] T=\begin{bmatrix} a&b&e\\ c&d&f\\ p&q&s \end{bmatrix} T= ​acp​bdq​efs​ ​
从功能上可以把二维变换矩阵分成四个子矩阵
$$\begin{gathered} T_0=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]T_1=\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right]T_2=\left[\begin{array}{cc}p& q\end{array}\right]T_3=\left[\begin{array}{c}s\end{array}\right] \\ {T}_0对图形进行比例，旋转，反射和错切变换,T_1进行平移变化，T_2进行投影变换,T_3进行整体比例变换 \end{gathered}$$

二维图形基本几何变换矩阵

平移变换

平移变换是图形上每一个点移动相同的坐标,假设有一点$P(x,y)移动到点P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$
$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+T_x\\ y^{\prime }=y+T_y\end{array}(T_x,T_y是平移系数)$
设二维平移变换矩阵为T
[ x ′ y ′ 1 ] = [ x + T x y + T y 1 ] = T [ x y 1 ] 得到 T = [ 1 0 T x 0 1 T y 0 0 1 ] \begin{bmatrix} x^{\prime}\\y^{\prime}\\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+T_x\\y+T_y\\1\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}得到T=\begin{bmatrix}1&0&T_x\\0&1&T_y\\0&0&1\end{bmatrix} ​x′y′1​ ​= ​x+Tx​y+Ty​1​ ​=T ​xy1​ ​得到T= ​100​010​Tx​Ty​1​ ​

比例变换

$P(x,y)相对于原点，沿x轴方向缩放S_x倍，沿Y轴方向缩放S_y倍到点P_{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$
设二维变换矩阵为T
[ x ′ y ′ 1 ] = [ x T x y T y 1 ] = T [ x y 1 ] 得到 T = [ T x 0 0 0 T y 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} x^{\prime}\\y^{\prime}\\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}xT_x\\yT_y\\1\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}得到T=\begin{bmatrix}T_x&0&0\\0&T_y&0\\0&0&1\end{bmatrix} ​x′y′1​ ​= ​xTx​yTy​1​ ​=T ​xy1​ ​得到T= ​Tx​00​0Ty​0​001​ ​

更一般的情况，$P相对于点(p_x,p_y)进行比例变换到P^{\prime }$。有$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=S_x(x-p_x)+p_x\\ y^{\prime }=S_y(y-p_y)+p_y\end{array}$
此时的二维变换矩阵T为 T = [ S x 0 p x ( 1 − S x ) 0 S y p y ( 1 − S y ) 0 0 1 ] \\T=\begin{bmatrix} S_x&0&p_x(1-S_x)\\ 0&S_y&p_y(1-S_y)\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= ​Sx​00​0Sy​0​px​(1−Sx​)py​(1−Sy​)1​ ​

旋转变换

点P相对于坐标原点旋转一个角度$\beta$得到点$P^{\prime }$。
对点P，用极坐标可以表示成$\{\begin{array}{l}x=r\cos \alpha \\ y=r\sin \alpha \end{array}$
旋转后点$P^{\prime }$,用极坐标表示为$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=r\cos (\alpha +\beta )=r\cos \alpha \cos \beta -r\sin \alpha \sin \beta =x\cos \beta -y\sin \beta \\ y^{\prime }=r\sin (\alpha +\beta )=r\sin \alpha \cos \beta +r\cos \alpha \sin \beta =y\cos \beta +x\sin \beta \end{array}$
由此可以得到二维变换矩阵T
T = [ cos ⁡ β − sin ⁡ β 0 sin ⁡ β cos ⁡ β 0 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} \cos\beta&-\sin\beta&0\\ \sin\beta&\cos\beta&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= ​cosβsinβ0​−sinβcosβ0​001​ ​

更一般的情况，点P绕点$(p_x,p_y)$旋转角度$\beta$
$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=(x-p_x)\cos \beta -(y-p_y)\sin \beta +p_x\\ y^{\prime }=(x-p_x)\sin \beta +(y-p_y)\cos \beta +p_y\end{array}$
此时的二维变换矩阵T为
T = [ cos ⁡ β − sin ⁡ β p x ( 1 − cos ⁡ β ) + p y sin ⁡ β sin ⁡ β cos ⁡ β p y ( 1 − cos ⁡ β ) − p x sin ⁡ β 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} \cos\beta&-\sin\beta&p_x(1-\cos\beta)+p_y\sin\beta\\ \sin\beta&\cos\beta&p_y(1-\cos\beta)-p_x\sin\beta\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= ​cosβsinβ0​−sinβcosβ0​px​(1−cosβ)+py​sinβpy​(1−cosβ)−px​sinβ1​ ​

对称变换

关于原点对称，二维变换矩阵T
T = [ − 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} -1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= ​−100​0−10​001​ ​
关于x轴对称，二维变换矩阵T
T = [ 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= ​100​0−10​001​ ​
关于轴对称，二维变换矩阵T
T = [ − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} -1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= ​−100​010​001​ ​
关于点$(p_x,p_y)$对称的二维变换矩阵T
T = [ − 1 0 2 p x 0 − 1 2 p y 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} -1&0&2p_x\\ 0&-1&2p_y\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= ​−100​0−10​2px​2py​1​ ​

错切变换

错切是点P相对于x,y轴进行不等量变化的过程。
相对于原点进行错切变换
$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+{\lambda }_{x}y\\ y^{\prime }={\lambda }_{y}x+y\end{array}$
二维变换矩阵T为 T = [ 1 λ x 0 λ y 1 0 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} 1&\lambda _x&0\\ \lambda _y&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= ​1λy​0​λx​10​001​ ​
相对于点$(p_x,p_y)$进行错切变换
$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+{\lambda }_x(y-p_x)\\ y^{\prime }={\lambda }_y(x-p_y)+y\end{array}$
二维变换矩阵T为 T = [ 1 λ x − λ x p x λ y 1 − λ y p y 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} 1&\lambda _x&-\lambda _xp_x\\ \lambda _y&1&-\lambda _yp_y\\ 0&0&1 \end{bmatrix} T= ​1λy​0​λx​10​−λx​px​−λy​py​1​ ​