齐次矩阵的理解深入和在图形学、Unity中的应用
齐次矩阵的理解和在图形学、Unity中的应用
在探讨图形学和Unity中的3D编程时，我们经常会遇到一个非常核心的数学工具——齐次矩阵。这篇文章将一步步深入地探讨齐次矩阵的基本概念、它在图形学中的应用，以及如何在Unity中利用这一概念来创建令人震撼的3D场景。
基本概念
首先，我们来聊聊什么是齐次坐标。在二维空间中，任何一个点可以用一对坐标 (x, y) 来表示。如果我们想要在三维空间中表示一个点，我们通常会使用三个坐标 (x, y, z)。然而，当我们在进行图形变换，如平移、旋转和缩放时，单纯使用这三个坐标并不足够方便。这时，齐次坐标就闪亮登场了。
一个三维中的点 (x, y, z)，在齐次坐标中会被表示为四个值 (wx, wy, wz, w)，其中 w 是一个非零的标量。通常情况下，为了简化，我们会选择 w=1，这样点 (x, y, z) 就变成了 (x, y, z, 1)。
| 非齐次坐标 | 齐次坐标 |
|---|---|
| (x, y, z) | (x, y, z, 1) |
图形学中的应用
在图形学中，齐次坐标主要用于表示和变换几何体。为什么这么做呢？因为使用齐次坐标可以将所有的变换统一成矩阵乘法的形式。平移、旋转、缩放等操作都可以通过乘以一个4x4的矩阵来实现。
1. 平移
想象一下，我们有一个点 (x, y, z)，我们想将它沿着X轴移动 dx，沿着Y轴移动 dy，沿着Z轴移动 dz。在非齐次坐标中，我们可能会写成 (x+dx, y+dy, z+dz)。但在齐次坐标中，我们可以使用一个矩阵来表示这个操作：
| 1 | 0 | 0 | dx |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | dy |
| 0 | 0 | 1 | dz |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
2. 旋转
旋转稍微复杂一些，因为它依赖于旋转轴和旋转角度。以绕Z轴旋转为例，旋转矩阵可以表示为：
| cos(θ) | -sin(θ) | 0 | 0 |
|---|---|---|---|
| sin(θ) | cos(θ) | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
3. 缩放
如果我们想对一个物体进行缩放，其中 sx, sy, sz 分别是沿X、Y、Z轴的缩放因子，对应的缩放矩阵为：
| sx | 0 | 0 | 0 |
|---|---|---|---|
| 0 | sy | 0 | 0 |
| 0 | 0 | sz | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
在Unity中的应用
在Unity中，齐次矩阵的应用是非常广泛的，并且被深度集成在了引擎的核心部分。Unity提供了一个强大的数学库，它允许我们使用矩阵和向量来执行复杂的变换。以下是如何在Unity中使用齐次矩阵的一些基本步骤。
1. 构建变换矩阵
在Unity中，每个GameObject都有一个Transform组件，该组件实际上存储了一个对象的位置、旋转和缩放信息。Unity内部使用齐次矩阵来存储这些信息。当我们在编辑器中移动、旋转或缩放对象时，Unity会自动更新这些矩阵。
Matrix4x4 translationMatrix = Matrix4x4.Translate(new Vector3(dx, dy, dz));
Matrix4x4 rotationMatrix = Matrix4x4.Rotate(Quaternion.Euler(new Vector3(rx, ry, rz)));
Matrix4x4 scaleMatrix = Matrix4x4.Scale(new Vector3(sx, sy, sz));
2. 应用变换矩阵
一旦我们有了变换矩阵，我们就可以将它应用到物体的位置、旋转或缩放上。在Unity中，我们通常不直接与矩阵打交道，而是使用Transform组件提供的方法来进行变换。
// 应用平移
transform.position += new Vector3(dx, dy, dz);
// 应用旋转
transform.rotation *= Quaternion.Euler(new Vector3(rx, ry, rz));
// 应用缩放
transform.localScale = new Vector3(sx, sy, sz);
但是，如果你需要直接操作矩阵，你可以这样做：
// 应用变换矩阵到物体
transform.localToWorldMatrix = translationMatrix * rotationMatrix * scaleMatrix;
3. 合成变换
实际上，在3D图形中，我们经常需要进行一系列变换，比如一个物体可能需要先旋转再平移。在Unity中，我们可以通过矩阵乘法来合成这些变换。
Matrix4x4 compositeMatrix = translationMatrix * rotationMatrix * scaleMatrix;
在Unity中，矩阵乘法的顺序非常重要，因为它决定了变换的先后顺序。通常，我们先进行缩放，然后旋转，最后平移。
4. 矩阵变换点和向量
在Unity中，我们还可以使用矩阵来变换点和向量。比如，我们可以使用一个物体的localToWorldMatrix来将一个局部坐标转换到世界坐标。
Vector3 worldPosition = myObject.transform.localToWorldMatrix.MultiplyPoint3x4(localPosition);
同样地，我们可以使用worldToLocalMatrix来进行相反的变换。
5. 摄像机视图和投影矩阵
在Unity中，摄像机的视图矩阵定义了从世界空间到摄像机空间的变换，而投影矩阵定义了从摄像机空间到屏幕空间的变换。这些矩阵背后都是使用了齐次坐标来实现不同空间间的转换。
Camera cam = Camera.main;
Matrix4x4 viewMatrix = cam.worldToCameraMatrix;
Matrix4x4 projectionMatrix = cam.projectionMatrix;
通过这些方法，Unity使得在3D空间中进行复杂的变换变得简单而直观。掌握这些概念，将帮助你深入理解3D图形编程，并在Unity中更加自如地创造出丰富的互动体验。
6. 应用齐次矩阵
例如,要移动或旋转一个游戏对象,我们可以构造一个齐次矩阵,然后用矩阵和对象的坐标相乘,就可以应用这个变换。
// 构造一个平移矩阵
Matrix4x4 translateMatrix = Matrix4x4.Translate(1, 2, 3);
// 获取游戏对象的坐标
Vector3 position = gameObject.transform.position;
// 应用变换
Vector3 newPosition = translateMatrix * position;
// 设置游戏对象的新坐标
gameObject.transform.position = newPosition;
上面就是使用齐次矩阵实现游戏对象移动的示例。旋转、缩放等操作也类似。
当然不使用齐次矩阵进行平移也是可以的,主要有以下两种方法:
- 直接修改坐标
这是最简单直接的方法。如果要对一个点 (x, y, z) 进行平移,例如沿x轴平移1个单位,可以直接用向量运算:
Vector3 origin = (x, y, z);
Vector3 translation = (1, 0, 0);
Vector3 result = origin + translation;
通过向量相加就可以实现平移效果。
- 使用Transform类
在Unity中,可以通过Transform类的Translate方法来对游戏对象进行平移:
public Transform objectTransform;
void TranslateObject() {
objectTransform.Translate(1, 0, 0);
}
Translate方法会修改对象的position属性,从而实现平移。
相比之下,使用齐次矩阵有以下优点:
- 可以组合多个变换,例如旋转后再平移
- 计算性能更高效
疑问
1. 齐次矩阵是4x4的怎么得到的3x3的坐标
一个4x4的齐次矩阵可以通过把最后一行和最后一列移除来转化为一个3x3的矩阵。这个过程通常被称为"降维"。
然后你可能会问，为什么我们要进行这种转换呢？
答案在于，当我们执行平移操作时，我们需要4x4的齐次矩阵。然而，当我们执行旋转或者缩放操作时，我们只需要使用3x3的子矩阵部分。
还有一点要注意的是，齐次坐标要表示成3维坐标，通常要通过将4维向量的前三个元素分别除以最后一个元素完成。这也体现在了将4x4矩阵降维到3x3矩阵的过程中。
举个例子，我们有一个4维齐次坐标 (X,Y,Z,W)，那么其对应的3维坐标就是 (X/W, Y/W, Z/W)。这样我们就将4维齐次坐标降维到3维了。这是因为齐次坐标的最后一个元素W是一个缩放因子。在实际的应用中，通常选择W=1来保持坐标原尺度。
2. 为什么四维可以表示三维的平移
传统的三维坐标系因其本质限制，不能直接表示平移操作。这是因为平移是改变物体的位置，而这种改变无法通过三维坐标系中的矩阵乘法来体现。
让我们通过一个具体的例子来理解这个过程。
假设我们有一个齐次坐标P (X, Y, Z, 1)，表示一个三维空间中的点。然后我们希望把这个点在X轴上移动3个单位，Y轴上移动2个单位，Z轴上移动1个单位。
这个操作可以通过平移矩阵来实现，平移矩阵可以表示为：
| 1 0 0 3 |
| 0 1 0 2 |
| 0 0 1 1 |
| 0 0 0 1 |
我们将这个矩阵记为M。那么，平移操作就可以通过矩阵乘法来实现。
P’ = M x P
其中，P’表示移动后的坐标位置。
根据矩阵乘法的定义，
P'.x = M[0][0]*P.x + M[0][1]*P.y + M[0][2]*P.z + M[0][3]*P.w
P'.y = M[1][0]*P.x + M[1][1]*P.y + M[1][2]*P.z + M[1][3]*P.w
P'.z = M[2][0]*P.x + M[2][1]*P.y + M[2][2]*P.z + M[2][3]*P.w
这意味着P’的XYZ的坐标将会加上平移向量Tx=3、Ty=2、Tz=1，也就是说P在每个维度上的坐标将加上对应维度上的平移量。例如，新的X坐标值将会是原来的X值加上3，Y值加上2，Z值加上1，通常我们忽略w值，它在平移中仍然为1。
总结
理解齐次坐标和矩阵的使用，是成为一名出色的图形程序员和Unity开发者的关键。它们不仅仅是干燥的数学概念，而是打开图形学和3D编程宝库的钥匙。通过本文的阅读，希望你能够对齐次矩阵在图形学和Unity中的应用有了更加深入的理解，并能够将这些知识应用到实际的项目中，创造出更加精彩的3D世界！
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