齐次矩阵的理解深入和在图形学、Unity中的应用

齐次矩阵的理解和在图形学、Unity中的应用

在探讨图形学和Unity中的3D编程时,我们经常会遇到一个非常核心的数学工具——齐次矩阵。这篇文章将一步步深入地探讨齐次矩阵的基本概念、它在图形学中的应用,以及如何在Unity中利用这一概念来创建令人震撼的3D场景。

基本概念

首先,我们来聊聊什么是齐次坐标。在二维空间中,任何一个点可以用一对坐标 (x, y) 来表示。如果我们想要在三维空间中表示一个点,我们通常会使用三个坐标 (x, y, z)。然而,当我们在进行图形变换,如平移、旋转和缩放时,单纯使用这三个坐标并不足够方便。这时,齐次坐标就闪亮登场了。

一个三维中的点 (x, y, z),在齐次坐标中会被表示为四个值 (wx, wy, wz, w),其中 w 是一个非零的标量。通常情况下,为了简化,我们会选择 w=1,这样点 (x, y, z) 就变成了 (x, y, z, 1)

非齐次坐标 齐次坐标
(x, y, z) (x, y, z, 1)

图形学中的应用

在图形学中,齐次坐标主要用于表示和变换几何体。为什么这么做呢?因为使用齐次坐标可以将所有的变换统一成矩阵乘法的形式。平移、旋转、缩放等操作都可以通过乘以一个4x4的矩阵来实现。

1. 平移

想象一下,我们有一个点 (x, y, z),我们想将它沿着X轴移动 dx,沿着Y轴移动 dy,沿着Z轴移动 dz。在非齐次坐标中,我们可能会写成 (x+dx, y+dy, z+dz)。但在齐次坐标中,我们可以使用一个矩阵来表示这个操作:

1 0 0 dx
0 1 0 dy
0 0 1 dz
0 0 0 1

2. 旋转

旋转稍微复杂一些,因为它依赖于旋转轴和旋转角度。以绕Z轴旋转为例,旋转矩阵可以表示为:

cos(θ) -sin(θ) 0 0
sin(θ) cos(θ) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

3. 缩放

如果我们想对一个物体进行缩放,其中 sx, sy, sz 分别是沿X、Y、Z轴的缩放因子,对应的缩放矩阵为:

sx 0 0 0
0 sy 0 0
0 0 sz 0
0 0 0 1

在Unity中的应用

在Unity中,齐次矩阵的应用是非常广泛的,并且被深度集成在了引擎的核心部分。Unity提供了一个强大的数学库,它允许我们使用矩阵和向量来执行复杂的变换。以下是如何在Unity中使用齐次矩阵的一些基本步骤。

1. 构建变换矩阵

在Unity中,每个GameObject都有一个Transform组件,该组件实际上存储了一个对象的位置、旋转和缩放信息。Unity内部使用齐次矩阵来存储这些信息。当我们在编辑器中移动、旋转或缩放对象时,Unity会自动更新这些矩阵。

Matrix4x4 translationMatrix = Matrix4x4.Translate(new Vector3(dx, dy, dz));
Matrix4x4 rotationMatrix = Matrix4x4.Rotate(Quaternion.Euler(new Vector3(rx, ry, rz)));
Matrix4x4 scaleMatrix = Matrix4x4.Scale(new Vector3(sx, sy, sz));

2. 应用变换矩阵

一旦我们有了变换矩阵,我们就可以将它应用到物体的位置、旋转或缩放上。在Unity中,我们通常不直接与矩阵打交道,而是使用Transform组件提供的方法来进行变换。

// 应用平移
transform.position += new Vector3(dx, dy, dz);

// 应用旋转
transform.rotation *= Quaternion.Euler(new Vector3(rx, ry, rz));

// 应用缩放
transform.localScale = new Vector3(sx, sy, sz);

但是,如果你需要直接操作矩阵,你可以这样做:

// 应用变换矩阵到物体
transform.localToWorldMatrix = translationMatrix * rotationMatrix * scaleMatrix;

3. 合成变换

实际上,在3D图形中,我们经常需要进行一系列变换,比如一个物体可能需要先旋转再平移。在Unity中,我们可以通过矩阵乘法来合成这些变换。

Matrix4x4 compositeMatrix = translationMatrix * rotationMatrix * scaleMatrix;

在Unity中,矩阵乘法的顺序非常重要,因为它决定了变换的先后顺序。通常,我们先进行缩放,然后旋转,最后平移。

4. 矩阵变换点和向量

在Unity中,我们还可以使用矩阵来变换点和向量。比如,我们可以使用一个物体的localToWorldMatrix来将一个局部坐标转换到世界坐标。

Vector3 worldPosition = myObject.transform.localToWorldMatrix.MultiplyPoint3x4(localPosition);

同样地,我们可以使用worldToLocalMatrix来进行相反的变换。

5. 摄像机视图和投影矩阵

在Unity中,摄像机的视图矩阵定义了从世界空间到摄像机空间的变换,而投影矩阵定义了从摄像机空间到屏幕空间的变换。这些矩阵背后都是使用了齐次坐标来实现不同空间间的转换。

Camera cam = Camera.main;
Matrix4x4 viewMatrix = cam.worldToCameraMatrix;
Matrix4x4 projectionMatrix = cam.projectionMatrix;

通过这些方法,Unity使得在3D空间中进行复杂的变换变得简单而直观。掌握这些概念,将帮助你深入理解3D图形编程,并在Unity中更加自如地创造出丰富的互动体验。

6. 应用齐次矩阵

例如,要移动或旋转一个游戏对象,我们可以构造一个齐次矩阵,然后用矩阵和对象的坐标相乘,就可以应用这个变换。

// 构造一个平移矩阵 
Matrix4x4 translateMatrix = Matrix4x4.Translate(1, 2, 3);

// 获取游戏对象的坐标 
Vector3 position = gameObject.transform.position;

// 应用变换
Vector3 newPosition = translateMatrix * position;

// 设置游戏对象的新坐标
gameObject.transform.position = newPosition;

上面就是使用齐次矩阵实现游戏对象移动的示例。旋转、缩放等操作也类似。

当然不使用齐次矩阵进行平移也是可以的,主要有以下两种方法:

  1. 直接修改坐标

这是最简单直接的方法。如果要对一个点 (x, y, z) 进行平移,例如沿x轴平移1个单位,可以直接用向量运算:

Vector3 origin = (x, y, z);
Vector3 translation = (1, 0, 0); 

Vector3 result = origin + translation;
通过向量相加就可以实现平移效果。
  1. 使用Transform类

在Unity中,可以通过Transform类的Translate方法来对游戏对象进行平移:

public Transform objectTransform; 

void TranslateObject() {
  objectTransform.Translate(1, 0, 0); 
}

Translate方法会修改对象的position属性,从而实现平移。

相比之下,使用齐次矩阵有以下优点:

  • 可以组合多个变换,例如旋转后再平移
  • 计算性能更高效

疑问

1. 齐次矩阵是4x4的怎么得到的3x3的坐标

一个4x4的齐次矩阵可以通过把最后一行和最后一列移除来转化为一个3x3的矩阵。这个过程通常被称为"降维"。
然后你可能会问,为什么我们要进行这种转换呢?
答案在于,当我们执行平移操作时,我们需要4x4的齐次矩阵。然而,当我们执行旋转或者缩放操作时,我们只需要使用3x3的子矩阵部分。
还有一点要注意的是,齐次坐标要表示成3维坐标,通常要通过将4维向量的前三个元素分别除以最后一个元素完成。这也体现在了将4x4矩阵降维到3x3矩阵的过程中。
举个例子,我们有一个4维齐次坐标 (X,Y,Z,W),那么其对应的3维坐标就是 (X/W, Y/W, Z/W)。这样我们就将4维齐次坐标降维到3维了。这是因为齐次坐标的最后一个元素W是一个缩放因子。在实际的应用中,通常选择W=1来保持坐标原尺度。

2. 为什么四维可以表示三维的平移

传统的三维坐标系因其本质限制,不能直接表示平移操作。这是因为平移是改变物体的位置,而这种改变无法通过三维坐标系中的矩阵乘法来体现。
让我们通过一个具体的例子来理解这个过程。
假设我们有一个齐次坐标P (X, Y, Z, 1),表示一个三维空间中的点。然后我们希望把这个点在X轴上移动3个单位,Y轴上移动2个单位,Z轴上移动1个单位。
这个操作可以通过平移矩阵来实现,平移矩阵可以表示为:

| 1  0  0  3 |
| 0  1  0  2 |
| 0  0  1  1 |
| 0  0  0  1 |

我们将这个矩阵记为M。那么,平移操作就可以通过矩阵乘法来实现。
P’ = M x P
其中,P’表示移动后的坐标位置。
根据矩阵乘法的定义,

  P'.x = M[0][0]*P.x + M[0][1]*P.y + M[0][2]*P.z + M[0][3]*P.w
  P'.y = M[1][0]*P.x + M[1][1]*P.y + M[1][2]*P.z + M[1][3]*P.w
  P'.z = M[2][0]*P.x + M[2][1]*P.y + M[2][2]*P.z + M[2][3]*P.w

这意味着P’的XYZ的坐标将会加上平移向量Tx=3、Ty=2、Tz=1,也就是说P在每个维度上的坐标将加上对应维度上的平移量。例如,新的X坐标值将会是原来的X值加上3,Y值加上2,Z值加上1,通常我们忽略w值,它在平移中仍然为1。

总结

理解齐次坐标和矩阵的使用,是成为一名出色的图形程序员和Unity开发者的关键。它们不仅仅是干燥的数学概念,而是打开图形学和3D编程宝库的钥匙。通过本文的阅读,希望你能够对齐次矩阵在图形学和Unity中的应用有了更加深入的理解,并能够将这些知识应用到实际的项目中,创造出更加精彩的3D世界!

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