Thomas会写字

十分简明易懂的FFT（快速傅里叶变换）

FFT前言

快速傅里叶变换 (fast Fourier transform)，即利用计算机计算离散傅里叶变换（DFT)的高效、快速计算方法的统称，简称FFT。快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少，特别是被变换的抽样点数N越多，FFT算法计算量的节省就越显著。

FFT（Fast Fourier Transformation） 是离散傅氏变换（DFT）的快速算法。即为快速傅氏变换。它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。

——百度百科

FFT（Fast Fourier Transformation），中文名快速傅里叶变换，用来加速多项式乘法朴素高精度乘法时间 )，但FFT能的时间解决。
FFT名字逼格高，也难懂，其他教程写得让人看不太懂，于是自己随便写一下

建议对复数、三角函数相关知识有所耳闻（不会也无所谓）

下面难懂的点我会从网上盗

多项式的系数表示法和点值表示法FFT其实是一个用的时间将一个用系数表示的多项式转换成它的点值表示的算法
多项式的系数表示和点值表示可以互相转换

系数表示法

一个n-1次n项多项式可以表示为 $f(x)=\sum^{n-1}_{i=0}a_ix^i$

也可以用每一项的系数来表示，即 $f(x)=\{a_0,a_1,a_2,...,a_{n-1} \}$

这就是系数表示法，也就是平时~~数学课上~~用的方法

点值表示法

把多项式放到平面直角坐标系里面，看成一个函数
把个不同的代入，会得出个不同的，在坐标系内就是个不同的点
那么这个点唯一确定该多项式，也就是有且仅有一个多项式满足 $\forall k,f(x_k)=y_k$
理由很简单，把n nn条式子联立起来成为一个有n条方程的n元方程组，每一项的系数都可以解出来

那么还可以用 $f(x)=\{(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),...,(x_{n-1},f(x_{n-1}))\}$ 来表示，这就是点值表示法。

高精度乘法下两种多项式表示法的区别

对于两个用系数表示的多项式，我们把它们相乘，设两个多项式分别为，我们要枚每一位的系数与每一位的系数相乘，那么系数表示法做多项式乘法时间复杂度 。

但两个用点值表示的多项式相乘，只需要的时间。

什么意思呢？

设两个点值多项式分别为：
$f(x)=\{(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),...,(x_{n-1},f(x_{n-1}))\}$

$g(x)=\{(x_0,g(x_0)),(x_1,g(x_1)),(x_2,g(x_2)),...,(x_{n-1},g(x_{n-1}))\}$

设它们的乘积是，那么
$h(x)=\{(x_0,f(x_0)·g(x_0)),(x_1,f(x_1)·g(x_1)),...,(x_{n-1},f(x_{n-1})·g(x_{n-1}))\}$

所以这里的时间复杂度只有一个枚举的

突然感觉高精度乘法能解决一堆题？
但是朴素的系数表示法转点值表示法的算法还是的复杂操作
朴素系数转点值的算法叫DFT（离散傅里叶变换），点值转系数叫IDFT（离散傅里叶逆变换）
难道高精度乘法只能了吗？

DFT前置知识&技能

复数

毕竟高中有所以不多说

我们把形如（均为实数）的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当的虚部不等于零时，实部等于零时，常称为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
——百度百科

初中数学老师会告诉你没有 $\sqrt{-1}$ ，但仅限

扩展至复数集，定义，一个复数可以表示为 $z=a+bi(a,b\in R)$

其中称为实部，称为虚部，称为虚数单位

在复数集中就可以用i ii表示负数的平方根，如 $\sqrt{-7}=\sqrt{7}i$

还可以把复数看成复平面直角坐标系上的一个点，比如下面

轴就是实数集中的坐标轴，轴就是虚数单位轴

这个点表示的复数就是，或者想象它代表的向量为

其实我们还可以自己想象 ~~（其实没有这种表达方式）~~ 它可以表示为 $(\sqrt{13},\theta)$

一个复数的模定义为它到原点的距离，记为 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

一个复数的共轭复数为（虚部取反），记为 $\overline{z}=a-bi$

复数的运算

复数不像点或向量，它和实数一样可以进行四则运算

设两个复数分别为，那么

复数相加也满足平行四边形法则

这张是从网上盗的

即

复数相乘还有一个值得注意的小性质

$(a_1,\theta_1)*(a_2,\theta_2)=(a_1a_2,\theta_1+\theta_2)$

即模长相乘，极角相加

DFT（离散傅里叶变换）

一定注意从这里开始所有的都默认为 2 的整数次幂

对于任意系数多项式转点值，当然可以随便取任意个值代入计算，但是暴力计算 $x_k^0,x_k^1,...,x_k^{n-1}(k\in[0,n))$ 当然是的时间。其实可以代入一组神奇的，代入以后不用做那么多的次方运算，这些当然不是乱取的，而且取这些值应该就是傅里叶的主意了。

考虑一下，如果我们代入一些，使每个的若干次方等于 1，我们就不用做全部的次方运算了 $\pm 1$ 是可以的，考虑虚数的话 $\pm i$ 也可以，但只有这四个数远远不够

傅里叶说：这个圆圈上面的点都可以做到

以原点为圆心，画一个半径为 1 的单位圆，那么单位圆上所有的点都可以经过若干次次方得到 1

傅里叶说还要把它给等分了，比如此时

橙色点即为时要取的点，从点开始，逆时针从 0 号开始标号，标到 7 号，记编号为的点代表的复数值为 $\omega_n^k$ ，那么由模长相乘，极角相加可知 $(\omega_n^1)^k=\omega_n^k$ ，其中 $\omega_n^1$ 称为次单位根，而且每一个 $\omega$ 都可以求出 ~~（我三角函数不好）~~

$\omega_n^k=\cos{k\over n}2\pi +i\sin{k\over n} 2\pi$

或者说也可以这样解释这条式子

注意 $sin^2\theta+cos^2\theta=1$ 什么的，就容易理解了

那么 $\omega^0_n,\omega^1_n,...,\omega^{n-1}_n$ 即为我们要代入的 $x_0,x_1,...,x_{n-1}$

单位根的一些性质

推FFT的过程中需要用到 $\omega$ 的一些性质

$\omega^k_n=\omega^{2k}_{2n}$

它们表示的点（或向量）表示的复数是相同的
证明
$\omega^k_n=\cos{k\over n}2\pi+i\sin{k\over n} 2\pi=\cos{2k\over 2n}2\pi+i\sin{2k\over 2n} 2\pi=\omega^{2k}_{2n}$

$\omega^{k+{n \over 2}}_n=-\omega_n^k$

它们表示的点关于原点对称，所表示的复数实部相反，所表示的向量等大反向
证明
$\omega^{n\over 2}_n=\cos{{n\over 2}\over n}2\pi+i\sin{{n\over 2}\over n}2\pi=\cos\pi+i\sin\pi=-1$
（这个东西和 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 与 $e^{i\pi}+1=0$ 有点关系，~~我不会就不讲了~~）

$\omega^0_n=\omega^n_n$

都等于，或

FFT（快速傅里叶变换）

虽然 DFT 搞出来一堆很牛的 $\omega$ 作为代入多项式的值

但只是代入这类特殊值法的变换叫做 DFT 而已，还是要代入单位根暴力计算

DFT 还是暴力 …

但 DFT 可以分治来做，于是 FFT（快速傅里叶变换） 就出来了

首先设一个多项式

$A(x)=\sum^{n-1}_{i=0}a_ix^i=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}$

按下标的奇偶性把分成两半，右边再提一个

$A(x)=(a_0+a_2x^2+...+a_{n-2}x^{n-2})+(a_1x+a_3x^3+...+a_{n-1}x^{n-1})$

$=(a_0+a_2x^2+...+a_{n-2}x^{n-2})+x(a_1+a_3x^2+...+a_{n-1}x^{n-2})$

两边好像非常相似，于是再设两个多项式，令

$A_1(x)=a_0+a_2x+a_4x^2+...+a_{n-2}x^{{n\over 2}-1}$

$A_2(x)=a_1+a_3x+a_5x^2+...+a_{n-1}x^{{n \over 2}-1}$

比较明显得出

再设 $k< {n\over 2}$ ，把 $\omega^k_n$ 作为代入 ~~（接下来几步变换要多想想单位根的性质）~~

$A(\omega^k_n)=A_1((\omega^k_n)^2)+\omega^k_nA_2((\omega^k_n)^2)$

$=A_1(\omega^{2k}_n)+\omega^k_nA_2(\omega^{2k}_n)=A_1(\omega^k_{n\over2})+\omega^k_nA_2(\omega^k_{n\over 2})$

那么对于 $A(\omega^{k+{n\over2}}_n)$ 的话，代入 $\omega^{k+{n \over 2}}_n$

$A(\omega^{k+{n\over 2}}_n)=A_1(\omega^{2k+n}_n)+\omega^{k+{n\over 2}}_nA_2(\omega^{2k+n}_n)$

$=A_1(\omega^{2k}_n\omega^n_n)-\omega^k_nA_2(\omega^{2k}_n\omega^n_n)$

$=A_1(\omega^{2k}_n)-\omega^k_nA_2(\omega^{2k}_n)=A_1(\omega^k_{n\over2})-\omega^k_nA_2(\omega^k_{n\over2})$

发现了什么？

$A(\omega^k_n)$ 和 $A(\omega^{k+{n\over2}}_n)$ 两个多项式后面一坨东西只有符号不同
就是说，如果已知 $A_1(\omega^k_{n\over 2})$ 和 $A_2(\omega^k_{n\over 2})$ 的值，我们就可以同时知道 $A(\omega^k_n)$ 和 $A(\omega^{k+{n\over2}}_n)$ 的值

现在我们就可以递归分治来搞了

每一次回溯时只扫当前前面一半的序列，即可得出后面一半序列的答案

时只有一个常数项，直接

时间复杂度 $O(n\log_2n)$

IFFT（快速傅里叶逆变换）

想一下，我们不仅要会，还要会IFFT（快速傅里叶逆变换）

我们把两个多项式相乘 （也叫求卷积），做完两遍也知道了积的多项式的点值表示

可我们平时用系数表示的多项式，点值表示没有意义

怎么把点值表示的多项式快速转回系数表示法？
暴力做？其实也可以用用 $O(n\log_2n)$ 的时间搞

你有没有想过为什么傅里叶是把 $\omega^k_n$ 作为代入而不是别的什么数？

原因是有的~~但是有我也看不懂~~

所以只用记住一个结论

一个多项式在分治的过程中乘上单位根的共轭复数，分治完的每一项除以即为原多项式的每一项系数

意思就是说和可以一起搞

朴素版FFT板子

有自带的复数模板库
即表示复数的实部

#include
#define cp complex

void fft(cp *a,int n,int inv)//inv是取共轭复数的符号
{
    if (n==1)return;
    int mid=n/2;
    static cp b[MAXN];
    fo(i,0,mid-1)b[i]=a[i*2],b[i+mid]=a[i*2+1];
    fo(i,0,n-1)a[i]=b[i];
    fft(a,mid,inv),fft(a+mid,mid,inv);//分治
    fo(i,0,mid-1)
    {
        cp x(cos(2*pi*i/n),inv*sin(2*pi*i/n));//inv取决是否取共轭复数
        b[i]=a[i]+x*a[i+mid],b[i+mid]=a[i]-x*a[i+mid];
    }
    fo(i,0,n-1)a[i]=b[i];
}

两个多项式相乘再转系数多项式，通常只用打这么一小段

	cp a[MAXN],b[MAXN];
	int c[MAXN];
	fft(a,n,1),fft(b,n,1);//1系数转点值
	fo(i,0,n-1)a[i]*=b[i];
	fft(a,n,-1);//-1点值转系数
	fo(i,0,n-1)c[i]=(int)(a[i].real()/n+0.5);//注意精度

很明显，FFT只能处理n nn为2 22的整数次幂的多项式

所以在前一定要把调到 2 的次幂

这个板子看着好像很优美，但是

递归常数太大，要考虑优化…

FFTの优化——迭代版FFT

~~这个图也是盗的~~

这个很容易发现点什么吧？

每个位置分治后的最终位置为其二进制翻转后得到的位置

这样的话我们可以先把原序列变换好，把每个数放在最终的位置上，再一步一步向上合并

一句话就可以预处理第i ii位最终的位置

fo(i,0,n-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));

~~至于蝴蝶变换它死了其实是我不会~~

真·FFT板子

void fft(cp *a,int n,int inv)
{
    int bit=0;
    while ((1<>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
        if (i

 
  这个板子好像不是那么好背 
  至少这个板子已经很优美了 
   
  FFT后记 
  本人版权意识薄弱…… 
   
   本博客部分知识学习于 
    
    https://www.cnblogs.com/RabbitHu/p/FFT.html 
    https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8244902.html?mType=Group#_label3 
    https://blog.csdn.net/ggn_2015/article/details/68922404


    
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visual-studio
                        base关键字用于从派生类中访问基类的成员。使用它可以：调用基类上已被另一个方法覆盖（override）的方法。指定在创建派生类的实例时应该调用基类的构造函数。基类访问只允许在构造函数、实例方法和实例属性访问器中进行。在静态方法中使用base关键字会产生错误。被访问的基类是类声明中指定的基类。例如，如果指定classClassP:ClassJ，则无论ClassJ的基类是什么，都可以从ClassP访
                    
                    C# 的 as 关键字
                        
visual-studio
                        as运算符将表达式结果显式转换为给定的引用或可以为null值的类型。如果无法进行转换，则as运算符返回null。与强制转换表达式不同，as运算符永远不会引发异常。EasT其中，E是返回值的表达式；T是类型或者类参的名称。下面语句结果相同：EisT?(T)(E):(T)nullas运算符仅考虑引用、可以为null、box（装箱）和unbox（拆箱）转换。不能使用as运算符执行用户定义的转换。{IEn
                    
                    C# 的 abstract 关键字
                        
visual-studio
                        *abstract修饰符。抽象的。描述（类、方法、属性、索引和事件）的实现不完整或未实现。如果一个类是抽象的，表明其只能为一个基类，而不能实例化。只有修饰为abstract的类才能具有修饰为abstract的成员。派生类必须完整实现其基类中未实现的方法、属性、索引和事件。下面构建一个基类（Ti）。描述不同的体需要的不同的描述方式。//////一个体。基类，必须被其他类继承。///abstractc
                    
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基础算法算法java动态规划贪心算法
                        背包问题概念完全背包（无限背包）0-1背包概念背包问题是一个经典的组合优化问题，其目标是在给定的一组物品中选择一些物品放入背包中，使得物品的总价值最大化，同时要求背包的总重量不超过背包的容量限制。背包问题有两种常见的变体：完全背包和0-1背包。鉴于完全背包计算过程相对0-1背包简单，这里先讲完全背包。完全背包（无限背包）在完全背包问题中，每个物品可以选择放入背包中的次数是无限的，即可以重复选择。每
                    
                    CUDA编程基础
                        清 澜
算法面试人工智能c++算法nvidiacuda编程
                        一、快速理解CUDA编程1.1CUDA简介CUDA（ComputeUnifiedDeviceArchitecture）是由NVIDIA推出的并行计算平台和应用程序接口模型。它允许开发者利用NVIDIAGPU的强大计算能力来加速通用计算任务，而不仅仅是图形渲染。通过CUDA，开发者可以编写C、C++或Fortran代码，并将其扩展以在GPU上运行，从而显著提高性能，特别是在处理大规模数据集和复杂算法
                    
                    泛目录程序：2025快云站群程序的SEO优化功能
                        云惠科技
大数据泛目录
                        快云站群程序的SEO优化功能围绕搜索引擎算法设计，具体包含以下核心模块：1.关键词智能布局密度检测与优化：自动分析内容关键词密度，建议合理区间（2%-8%），避免堆砌或遗漏；多词策略支持：可针对单篇内容设置主关键词+长尾词组合，覆盖更多搜索场景；标题/摘要自动生成：根据关键词智能生成高点击率的标题和Meta描述，提升搜索展示效果。2.内链自动化系统内容关联推荐：基于语义分析，自动在文章中插入相关内
                    
                    如何使用C# 读写西门子PLC
                        A_nanda
西门子
                        在C#WPF应用程序中，与西门子S7系列PLC进行通信是一个常见的需求，尤其是在工业自动化领域。以下是三种实现WPF上位机与西门子S7系列PLC通信同步的方式，每种方式都提供了代码实例、优缺点和使用场景。1.使用S7.Net库代码示例：//创建PLC连接varplc=newS7.Net.Plc(CpuType.S71500,"192.168.1.10",0,1);plc.Open();//读取PL
                    
                    掌握C#企业级应用的数据一致性与分布式事务：从基础到高级的全面解析
                        墨夶
C#学习资料1c#分布式wpf
                        在当今的企业级应用开发中，确保数据的一致性是至关重要的。尤其是在涉及分布式系统时，如何处理跨服务、跨数据库的操作以保证数据的一致性和可靠性成为了一个复杂但必须解决的问题。本文将深入探讨使用C#进行企业级应用开发时的数据一致性和分布式事务管理，提供详细的代码示例和最佳实践。第一部分：理解数据一致性与分布式事务的基础知识1.1数据一致性的重要性在企业级应用中，数据一致性是指关联数据之间的逻辑关系是否正
                    
                    【LeetCode 热题100】 23. 合并 K 个升序链表的算法思路及python代码
                        pljnb
LeetCode热题100算法leetcode链表
                        23.合并K个升序链表给你一个链表数组，每个链表都已经按升序排列。请你将所有链表合并到一个升序链表中，返回合并后的链表。示例1：输入：lists=[[1,4,5],[1,3,4],[2,6]]输出：[1,1,2,3,4,4,5,6]解释：链表数组如下：[1->4->5,1->3->4,2->6]将它们合并到一个有序链表中得到。1->1->2->3->4->4->5->6示例2：输入：lists=[
                    
                    【Leetcode刷题随笔】59 螺旋矩阵
                        Poor_DayDreamer
leetcode数组篇MediumTagleetcode矩阵算法
                        1.题目描述给定一个正整数n，生成一个包含1到n2所有元素，且元素按顺时针顺序螺旋排列的nxn正方形矩阵matrix。可结合以下原题链接阅读。原题链接：59螺旋矩阵2.解题思路本题为模拟矩阵填充过程，不需要设计算法，只要完成正确的填充过程即可。首先初始化一个nxn的二维矩阵（涉及到动态内存分配），从矩阵左上角开始往顺时针填充，关键在于填充的转角处不要重复填充，所以对于每条边都要遵循严格的统一规则，
                    
                    算法入门——二分法
                        Able Zhao 650829
算法数据结构c++蓝桥杯
                        二分法真的很容易出错！！！在用dp学习之后总结了一下二分法二分查找关键总结一、核心思想分治策略：每次将搜索范围缩小一半，适用于有序数组。时间复杂度：O(logn)，比线性查找高效得多。二、关键点前提条件有序性：数组必须有序（升序或降序），否则需先排序（但排序成本O(nlogn)）。静态性：适合静态数据或低频更新的数据（高频更新建议用哈希表或树结构）。两种边界问题左边界：第一个等于目标的位置（或第一
                    
                    大整数加、减法（Java实现）与debug找错
                        gfu_
java算法数据结构
                        前言这篇文章主要内容涉及大整数加法的实现以及debug使用的简单记录。以前当我碰到程序报错时，总是想找别人帮忙，感觉debug太难了，自己根本看不懂。这次，自己在做一道算法题时，程序能够运行，结果却出错了。本来想找别人帮忙，但想着学习还是要脚踏实地，于是自己硬着头皮上了，先在网上了解如何debug，然后一步一步找到了错误所在。主要是想记录下第一次debug找到问题的快乐。一、大整数加法（java）
                    
                    Web3身份验证技术对数据保护的影响研究
                        清 晨
反侦测指纹浏览器社交媒体web3ClonBrowser跨境电商隐私保护
                        Web3身份验证技术对数据保护的影响研究在这个数字化时代，我们的身份和数据安全比以往任何时候都更加重要。Web3技术以其去中心化和用户主权的核心理念，为个人数据的管理和保护提供了新的视角。本文将探讨Web3身份验证技术如何影响数据保护，并分析其对我们数字生活的影响。Web3身份验证技术简介Web3身份验证技术依托于区块链和先进的加密技术，如非对称加密算法和智能合约，为用户提供了一种全新的身份验证方
                    
                    金三银四快过去一半了，是时候加把劲了
                        
后端go找工作面试
                        从复旦春招会的15000+岗位争夺战，到AI算法岗年薪百万的“神仙打架”，再到游戏行业20:1的残酷竞争比，今年的金三银四像极了《三体》里的黑暗森林：机会看似遍地，但稍有不慎就成了别人的“背景板”。但现实真的是“投晚了就凉了”吗？数据告诉你真相：智联研究院统计显示，算法工程师、机器人算法工程师等岗位需求同比激增44%，而中小企业的“捡漏窗口”才刚开启。这半个月，我整理了20+场面试实录（含小鹅通、
                    
                    动态规划算法优化在资源分配问题中的应用
                        suyang199312
课程设计
                        摘要资源分配问题广泛存在于各类生产与管理场景，合理分配资源以实现效益最大化至关重要。本文深入剖析动态规划算法在资源分配问题中的应用，详细阐述其基本原理与常规解法，针对常规解法的不足提出创新优化思路，并给出具体实现步骤。通过实际案例分析与实验验证，展示优化后的动态规划算法在提升资源分配效率和效益方面的显著优势，为相关领域的决策制定提供有力支持。引言在经济、工程、计算机科学等众多领域，资源分配问题无处
                    
                    加密算法的性能优化与安全性平衡研究
                        sigen520520
笔记
                        摘要在数字化信息飞速发展的当下，数据安全至关重要，加密算法作为数据保护的核心手段，其性能与安全性直接关乎信息系统的稳定运行。本文深入剖析常见加密算法，详细分析其性能指标与安全性特点，全面探讨在提升加密速度的同时确保安全的有效方法与实践，旨在为构建高效、安全的加密体系提供理论支撑与实践指导。引言随着互联网的普及和信息技术的广泛应用，数据在传输与存储过程中面临诸多安全威胁，如数据泄露、篡改、伪造等。加
                    
                    Matlab 基于最小二乘向量机 LSSVM + NSGAII 多目标优化算法的工艺参数优化
                        前程算法屋
私信获取源码工艺参数优化matlab算法多目标优化
                        Matlab基于最小二乘向量机LSSVM+NSGAII多目标优化算法的工艺参数优化一、引言1.1研究背景与意义在现代工业生产中，工艺参数优化占据着举足轻重的地位。它犹如工业生产的核心引擎，直接影响着企业的生产效率、产品质量以及成本控制。从生产效率角度看，优化工艺参数能够显著提升生产速度。合理的参数设置可使生产设备处于最佳运行状态，减少不必要的停机与等待时间，让生产流程更加顺畅。以汽车制造业为例，通
                    
                    获取网站流量的方法有哪些？
                        liuliangpuzi
互联网流量运营数据搜索引擎百度大数据
                        不同流量源的比例反映了网站所有者不同的管理策略和网站的发展阶段。那么，网站流量来源都有哪些？接下来小编就跟大家浅析下网站流量来源的三大途径，一起来看看吧！1、直接访问来源搜索引擎源和外部链源依赖于外部，因此通常存在较大的不确定性，如搜索引擎算法调整、业务模型调整、策略监管等，这可能会使网站的流量从每天数十万IP急剧下降到数千。对于小型商业站来说，从搜索引擎获取流量是一种更经济实惠、廉价的选择，但对
                    
                                [黑洞与暗粒子]没有光的世界
                                    comsci

                                         无论是相对论还是其它现代物理学,都显然有个缺陷,那就是必须有光才能够计算 
 
     但是,我相信,在我们的世界和宇宙平面中,肯定存在没有光的世界.... 
 
     那么,在没有光的世界,光子和其它粒子的规律无法被应用和考察,那么以光速为核心的 
 
&nbs
                                
                                jQuery Lazy Load 图片延迟加载
                                    aijuans
jquery
                                    基于 jQuery 的图片延迟加载插件，在用户滚动页面到图片之后才进行加载。 
对于有较多的图片的网页，使用图片延迟加载，能有效的提高页面加载速度。 
 
 版本： 
 

  jQuery v1.4.4+ 
 

  jQuery Lazy Load v1.7.2 
 
 
 注意事项： 
 
 
 需要真正实现图片延迟加载，必须将真实图片地址写在 data-original 属性中。若 src
                                
                                使用Jodd的优点
                                    Kai_Ge
jodd
                                    1.  简化和统一 controller ，抛弃 extends SimpleFormController ，统一使用 implements Controller 的方式。 
2.  简化 JSP 页面的 bind, 不需要一个字段一个字段的绑定。 
3.  对 bean 没有任何要求，可以使用任意的 bean 做为 formBean。 
  
使用方法简介
                                
                                jpa Query转hibernate Query
                                    120153216
Hibernate
                                    public List<Map> getMapList(String hql,
			Map map) {
		org.hibernate.Query jpaQuery = entityManager.createQuery(hql);
		if (null != map) {
			for (String parameter : map.keySet()) {
				jp
                                
                                Django_Python3添加MySQL/MariaDB支持
                                    2002wmj
mariaDB
                                    现状 
首先，[email protected] 中默认的引擎为 django.db.backends.mysql 。但是在Python3中如果这样写的话，会发现 django.db.backends.mysql 依赖 MySQLdb[5] ，而 MySQLdb 又不兼容 Python3 于是要找一种新的方式来继续使用MySQL。 MySQL官方的方案 
首先据MySQL文档[3]说，自从MySQL
                                
                                在SQLSERVER中查找消耗IO最多的SQL
                                    357029540
SQL Server
                                    返回做IO数目最多的50条语句以及它们的执行计划。 
select top 50   
 
(total_logical_reads/execution_count) as avg_logical_reads,  
 
(total_logical_writes/execution_count) as avg_logical_writes,  
 
(tot
                                
                                spring UnChecked 异常 官方定义！
                                    7454103
spring
                                      如果你接触过spring的 事物管理！那么你必须明白 spring的 非捕获异常！ 即 unchecked 异常！ 因为 spring 默认这类异常事物自动回滚！！ 
 
 
 
 
public static boolean isCheckedException(Throwable ex)
    {
   return !(ex instanceof RuntimeExcep
                                
                                mongoDB 入门指南、示例
                                    adminjun
javamongodb操作
                                    一、准备工作 
1、 下载mongoDB 
下载地址：http://www.mongodb.org/downloads 
选择合适你的版本 
相关文档：http://www.mongodb.org/display/DOCS/Tutorial 
2、 安装mongoDB 
A、 不解压模式： 
将下载下来的mongoDB-xxx.zip打开，找到bin目录，运行mongod.exe就可以启动服务，默
                                
                                CUDA 5 Release Candidate Now Available
                                    aijuans
CUDA
                                    The CUDA 5 Release Candidate is now available at http://developer.nvidia.com/<wbr></wbr>cuda/cuda-pre-production. Now applicable to a broader set of algorithms, CUDA 5 has advanced fe
                                
                                Essential Studio for WinRT网格控件测评
                                    Axiba
JavaScripthtml5
                                    Essential Studio for WinRT界面控件包含了商业平板应用程序开发中所需的所有控件，如市场上运行速度最快的grid 和chart、地图、RDL报表查看器、丰富的文本查看器及图表等等。同时，该控件还包含了一组独特的库，用于从WinRT应用程序中生成Excel、Word以及PDF格式的文件。此文将对其另外一个强大的控件——网格控件进行专门的测评详述。 
 
 
网格控件功能 
1、
                                
                                java 获取windows系统安装的证书或证书链
                                    bewithme
windows
                                      
    有时需要获取windows系统安装的证书或证书链，比如说你要通过证书来创建java的密钥库  。 
有关证书链的解释可以查看此处 。 
  
public static void main(String[] args) {
		SunMSCAPI providerMSCAPI = new SunMSCAPI();
		S
                                
                                NoSQL数据库之Redis数据库管理(set类型和zset类型)
                                    bijian1013
redis数据库NoSQL
                                    4.sets类型 
        Set是集合，它是string类型的无序集合。set是通过hash table实现的，添加、删除和查找的复杂度都是O(1)。对集合我们可以取并集、交集、差集。通过这些操作我们可以实现sns中的好友推荐和blog的tag功能。 
        sadd：向名称为key的set中添加元
                                
                                异常捕获何时用Exception，何时用Throwable
                                    bingyingao

                                    用Exception的情况 
 try { 
       //可能发生空指针、数组溢出等异常 
        } catch (Exception e) { 
         
                                
                                【Kafka四】Kakfa伪分布式安装
                                    bit1129
kafka
                                    在http://bit1129.iteye.com/blog/2174791一文中，实现了单Kafka服务器的安装，在Kafka中，每个Kafka服务器称为一个broker。本文简单介绍下，在单机环境下Kafka的伪分布式安装和测试验证   1. 安装步骤 
  
Kafka伪分布式安装的思路跟Zookeeper的伪分布式安装思路完全一样，不过比Zookeeper稍微简单些(不
                                
                                Project Euler
                                    bookjovi
haskell
                                    Project Euler是个数学问题求解网站，网站设计的很有意思，有很多problem，在未提交正确答案前不能查看problem的overview，也不能查看关于problem的discussion thread，只能看到现在problem已经被多少人解决了，人数越多往往代表问题越容易。 
    看看problem 1吧： 
 Add all the natural num
                                
                                Java-Collections Framework学习与总结-ArrayDeque
                                    BrokenDreams
Collections
                                            表、栈和队列是三种基本的数据结构，前面总结的ArrayList和LinkedList可以作为任意一种数据结构来使用，当然由于实现方式的不同，操作的效率也会不同。 
        这篇要看一下java.util.ArrayDeque。从命名上看
                                
                                读《研磨设计模式》-代码笔记-装饰模式-Decorator
                                    bylijinnan
java设计模式
                                    声明： 本文只为方便我个人查阅和理解，详细的分析以及源代码请移步 原作者的博客http://chjavach.iteye.com/ 
 
 



import java.io.BufferedOutputStream;
import java.io.DataOutputStream;
import java.io.FileOutputStream;
import java.io.Fi
                                
                                Maven学习(一)
                                    chenyu19891124
Maven私服
                                        学习一门技术和工具总得花费一段时间，5月底6月初自己学习了一些工具，maven+Hudson+nexus的搭建，对于maven以前只是听说，顺便再自己的电脑上搭建了一个maven环境，但是完全不了解maven这一强大的构建工具，还有ant也是一个构建工具，但ant就没有maven那么的简单方便，其实简单点说maven是一个运用命令行就能完成构建，测试，打包，发布一系列功
                                
                                [原创]JWFD工作流引擎设计----节点匹配搜索算法(用于初步解决条件异步汇聚问题) 补充
                                    comsci
算法工作PHP搜索引擎嵌入式
                                    本文主要介绍在JWFD工作流引擎设计中遇到的一个实际问题的解决方案，请参考我的博文"带条件选择的并行汇聚路由问题"中图例A2描述的情况(http://comsci.iteye.com/blog/339756),我现在把我对图例A2的一个解决方案公布出来，请大家多指点 
 
 节点匹配搜索算法(用于解决标准对称流程图条件汇聚点运行控制参数的算法) 
 
 需要解决的问题：已知分支
                                
                                Linux中用shell获取昨天、明天或多天前的日期
                                    daizj
linuxshell上几年昨天获取上几个月
                                    在Linux中可以通过date命令获取昨天、明天、上个月、下个月、上一年和下一年 
 
 
# 获取昨天 
date -d 'yesterday'  # 或 date -d 'last day' 
# 获取明天 
date -d 'tomorrow'   # 或 date -d 'next day' 
# 获取上个月 
date -d 'last month' 
# 
                                
                                我所理解的云计算
                                    dongwei_6688
云计算
                                          在刚开始接触到一个概念时，人们往往都会去探寻这个概念的含义，以达到对其有一个感性的认知，在Wikipedia上关于“云计算”是这么定义的，它说： 
 
        Cloud computing is a phrase used to describe a variety of computing co
                                
                                YII CMenu配置
                                    dcj3sjt126com
yii
                                    Adding id and class names to CMenu 
We use the id and htmlOptions to accomplish this. Watch.   
//in your view
$this->widget('zii.widgets.CMenu', array(
	'id'=>'myMenu',
	'items'=>$this-&g
                                
                                设计模式之静态代理与动态代理
                                    come_for_dream
设计模式
                                    静态代理与动态代理 
        代理模式是java开发中用到的相对比较多的设计模式，其中的思想就是主业务和相关业务分离。所谓的代理设计就是指由一个代理主题来操作真实主题，真实主题执行具体的业务操作，而代理主题负责其他相关业务的处理。比如我们在进行删除操作的时候需要检验一下用户是否登陆，我们可以删除看成主业务，而把检验用户是否登陆看成其相关业务
                                
                                【转】理解Javascript 系列
                                    gcc2ge
JavaScript
                                    理解Javascript_13_执行模型详解 
 
  摘要: 在《理解Javascript_12_执行模型浅析》一文中,我们初步的了解了执行上下文与作用域的概念，那么这一篇将深入分析执行上下文的构建过程，了解执行上下文、函数对象、作用域三者之间的关系。函数执行环境简单的代码:当调用say方法时，第一步是创建其执行环境，在创建执行环境的过程中，会按照定义的先后顺序完成一系列操作:1.首先会创建一个
                                
                                Subsets II
                                    hcx2013
set
                                    Given a collection of integers that might contain duplicates, nums, return all possible subsets. 
Note: 
 
 Elements in a subset must be in non-descending order. 
 The solution set must not conta
                                
                                Spring4.1新特性——Spring缓存框架增强
                                    jinnianshilongnian
spring4
                                    目录 
Spring4.1新特性——综述 
Spring4.1新特性——Spring核心部分及其他 
Spring4.1新特性——Spring缓存框架增强 
Spring4.1新特性——异步调用和事件机制的异常处理 
Spring4.1新特性——数据库集成测试脚本初始化 
Spring4.1新特性——Spring MVC增强 
Spring4.1新特性——页面自动化测试框架Spring MVC T
                                
                                shell嵌套expect执行命令
                                    liyonghui160com

                                      
  
一直都想把expect的操作写到bash脚本里,这样就不用我再写两个脚本来执行了,搞了一下午终于有点小成就,给大家看看吧. 
  系统:centos 5.x 
  
1.先安装expect 
yum -y install expect 
  
2.脚本内容: 
cat auto_svn.sh 
  
#!/bin/bash

                                
                                Linux实用命令整理
                                    pda158
linux
                                    0. 基本命令   　　linux 基本命令整理   　 
　1. 压缩 解压   　　tar -zcvf a.tar.gz a   #把a压缩成a.tar.gz   　　tar -zxvf a.tar.gz     #把a.tar.gz解压成a   　 
　2. vim小结   　　2.1 vim替换   　　:m,ns/word_1/word_2/gc  
                                
                                独立开发人员通向成功的29个小贴士
                                    shoothao
独立开发
                                      
 概述：本文收集了关于独立开发人员通向成功需要注意的一些东西,对于具体的每个贴士的注解有兴趣的朋友可以查看下面标注的原文地址。  
   
 
 明白你从事独立开发的原因和目的。 
 保持坚持制定计划的好习惯。 
 万事开头难，第一份订单是关键。 
 培养多元化业务技能。 
 提供卓越的服务和品质。 
 谨小慎微。 
 营销是必备技能。 
 学会组织，有条理的工作才是最有效率的。 
 “独立
                                
                                JAVA中堆栈和内存分配原理
                                    uule
java
                                    1、栈、堆  
1.寄存器：最快的存储区, 由编译器根据需求进行分配,我们在程序中无法控制.2. 栈：存放基本类型的变量数据和对象的引用，但对象本身不存放在栈中，而是存放在堆（new 出来的对象）或者常量池中（字符串常量对象存放在常量池中。）3. 堆：存放所有new出来的对象。4. 静态域：存放静态成员（static定义的）5. 常量池：存放字符串常量和基本类型常量（public static f
                                
                
            
        
    


    
        
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