代码随想录算法训练DAY25|回溯2

算法训练DAY25|回溯2

216.组合总和III

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找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数,并且每种组合中不存在重复的数字。

说明:

  • 所有数字都是正整数。

  • 解集不能包含重复的组合。

示例 1: 输入: k = 3, n = 7 输出: [[1,2,4]]

示例 2: 输入: k = 3, n = 9 输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

#思路

本题就是在[1,2,3,4,5,6,7,8,9]这个集合中找到和为n的k个数的组合。

相对于77. 组合 ,无非就是多了一个限制,本题是要找到和为n的k个数的组合,而整个集合已经是固定的了[1,...,9]。

想到这一点了,做过77. 组合 之后,本题是简单一些了。

本题k相当于树的深度,9(因为整个集合就是9个数)就是树的宽度。

例如 k = 2,n = 4的话,就是在集合[1,2,3,4,5,6,7,8,9]中求 k(个数) = 2, n(和) = 4的组合。

选取过程如图:

代码随想录算法训练DAY25|回溯2_第1张图片

图中,可以看出,只有最后取到集合(1,3)和为4 符合条件。

#回溯三部曲

  • 确定递归函数参数

和77. 组合 一样,依然需要一维数组path来存放符合条件的结果,二维数组result来存放结果集。

这里我依然定义path 和 result为全局变量。

至于为什么取名为path?从上面树形结构中,可以看出,结果其实就是一条根节点到叶子节点的路径。

vector> result; // 存放结果集
vector path; // 符合条件的结果

接下来还需要如下参数:

  • targetSum(int)目标和,也就是题目中的n。

  • k(int)就是题目中要求k个数的集合。

  • sum(int)为已经收集的元素的总和,也就是path里元素的总和。

  • startIndex(int)为下一层for循环搜索的起始位置。

所以代码如下:

vector> result;
vector path;
void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex)

其实这里sum这个参数也可以省略,每次targetSum减去选取的元素数值,然后判断如果targetSum为0了,说明收集到符合条件的结果了,我这里为了直观便于理解,还是加一个sum参数。

还要强调一下,回溯法中递归函数参数很难一次性确定下来,一般先写逻辑,需要啥参数了,填什么参数。

  • 确定终止条件

什么时候终止呢?

在上面已经说了,k其实就已经限制树的深度,因为就取k个元素,树再往下深了没有意义。

所以如果path.size() 和 k相等了,就终止。

如果此时path里收集到的元素和(sum) 和targetSum(就是题目描述的n)相同了,就用result收集当前的结果。

所以 终止代码如下:

if (path.size() == k) {
    if (sum == targetSum) result.push_back(path);
    return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
}
  • 单层搜索过程

本题和77. 组合 区别之一就是集合固定的就是9个数[1,...,9],所以for循环固定i<=9

如图:

代码随想录算法训练DAY25|回溯2_第2张图片

处理过程就是 path收集每次选取的元素,相当于树型结构里的边,sum来统计path里元素的总和。

代码如下:

for (int i = startIndex; i <= 9; i++) {
    sum += i;
    path.push_back(i);
    backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
    sum -= i; // 回溯
    path.pop_back(); // 回溯
}

别忘了处理过程 和 回溯过程是一一对应的,处理有加,回溯就要有减!

参照关于回溯算法,你该了解这些! 中的模板,不难写出如下C++代码:

class Solution {
private:
    vector> result; // 存放结果集
    vector path; // 符合条件的结果
    // targetSum:目标和,也就是题目中的n。
    // k:题目中要求k个数的集合。
    // sum:已经收集的元素的总和,也就是path里元素的总和。
    // startIndex:下一层for循环搜索的起始位置。
    void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            if (sum == targetSum) result.push_back(path);
            return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
        }
        for (int i = startIndex; i <= 9; i++) {
            sum += i; // 处理
            path.push_back(i); // 处理
            backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
            sum -= i; // 回溯
            path.pop_back(); // 回溯
        }
    }
​
public:
    vector> combinationSum3(int k, int n) {
        result.clear(); // 可以不加
        path.clear();   // 可以不加
        backtracking(n, k, 0, 1);
        return result;
    }
};

#剪枝

这道题目,剪枝操作其实是很容易想到了,想必大家看上面的树形图的时候已经想到了。

如图:

代码随想录算法训练DAY25|回溯2_第3张图片

已选元素总和如果已经大于n(图中数值为4)了,那么往后遍历就没有意义了,直接剪掉。

那么剪枝的地方可以放在递归函数开始的地方,剪枝代码如下:

if (sum > targetSum) { // 剪枝操作
    return;
}

当然这个剪枝也可以放在 调用递归之前,即放在这里,只不过要记得 要回溯操作给做了。

for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) { // 剪枝
    sum += i; // 处理
    path.push_back(i); // 处理
    if (sum > targetSum) { // 剪枝操作
        sum -= i; // 剪枝之前先把回溯做了
        path.pop_back(); // 剪枝之前先把回溯做了
        return;
    }
    backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
    sum -= i; // 回溯
    path.pop_back(); // 回溯
}

和回溯算法:组合问题再剪剪枝 一样,for循环的范围也可以剪枝,i <= 9 - (k - path.size()) + 1就可以了。

最后C++代码如下:

class Solution {
private:
    vector> result; // 存放结果集
    vector path; // 符合条件的结果
    void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) {
        if (sum > targetSum) { // 剪枝操作
            return; 
        }
        if (path.size() == k) {
            if (sum == targetSum) result.push_back(path);
            return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
        }
        for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) { // 剪枝
            sum += i; // 处理
            path.push_back(i); // 处理
            backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
            sum -= i; // 回溯
            path.pop_back(); // 回溯
        }
    }
​
public:
    vector> combinationSum3(int k, int n) {
        result.clear(); // 可以不加
        path.clear();   // 可以不加
        backtracking(n, k, 0, 1);
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度: O(n * 2^n)

  • 空间复杂度: O(n)

17.电话号码的字母组合

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给定一个仅包含数字 2-9 的字符串,返回所有它能表示的字母组合。

给出数字到字母的映射如下(与电话按键相同)。注意 1 不对应任何字母。

代码随想录算法训练DAY25|回溯2_第4张图片

示例:

  • 输入:"23"

  • 输出:["ad", "ae", "af", "bd", "be", "bf", "cd", "ce", "cf"].

说明:尽管上面的答案是按字典序排列的,但是你可以任意选择答案输出的顺序。

#思路

从示例上来说,输入"23",最直接的想法就是两层for循环遍历了吧,正好把组合的情况都输出了。

如果输入"233"呢,那么就三层for循环,如果"2333"呢,就四层for循环.......

大家应该感觉出和77.组合 遇到的一样的问题,就是这for循环的层数如何写出来,此时又是回溯法登场的时候了。

理解本题后,要解决如下三个问题:

  1. 数字和字母如何映射

  2. 两个字母就两个for循环,三个字符我就三个for循环,以此类推,然后发现代码根本写不出来

  3. 输入1 * #按键等等异常情况

#数字和字母如何映射

可以使用map或者定义一个二维数组,例如:string letterMap[10],来做映射,我这里定义一个二维数组,代码如下:

const string letterMap[10] = {
    "", // 0
    "", // 1
    "abc", // 2
    "def", // 3
    "ghi", // 4
    "jkl", // 5
    "mno", // 6
    "pqrs", // 7
    "tuv", // 8
    "wxyz", // 9
};

#回溯法来解决n个for循环的问题

例如:输入:"23",抽象为树形结构,如图所示:

代码随想录算法训练DAY25|回溯2_第5张图片

图中可以看出遍历的深度,就是输入"23"的长度,而叶子节点就是我们要收集的结果,输出["ad", "ae", "af", "bd", "be", "bf", "cd", "ce", "cf"]。

回溯三部曲:

  • 确定回溯函数参数

首先需要一个字符串s来收集叶子节点的结果,然后用一个字符串数组result保存起来,这两个变量我依然定义为全局。

这个index是记录遍历第几个数字了,就是用来遍历digits的(题目中给出数字字符串),同时index也表示树的深度。

代码如下:

vector result;
string s;
void backtracking(const string& digits, int index)
  • 确定终止条件

例如输入用例"23",两个数字,那么根节点往下递归两层就可以了,叶子节点就是要收集的结果集。

那么终止条件就是如果index 等于 输入的数字个数(digits.size)了(本来index就是用来遍历digits的)。

然后收集结果,结束本层递归。

代码如下:

if (index == digits.size()) {
    result.push_back(s);
    return;
}
  • 确定单层遍历逻辑

首先要取index指向的数字,并找到对应的字符集(手机键盘的字符集)。

然后for循环来处理这个字符集,代码如下:

int digit = digits[index] - '0';        // 将index指向的数字转为int
string letters = letterMap[digit];      // 取数字对应的字符集
for (int i = 0; i < letters.size(); i++) {
    s.push_back(letters[i]);            // 处理
    backtracking(digits, index + 1);    // 递归,注意index+1,一下层要处理下一个数字了
    s.pop_back();                       // 回溯
}

注意:输入1 * #按键等等异常情况

代码中最好考虑这些异常情况,但题目的测试数据中应该没有异常情况的数据,所以我就没有加了。

但是要知道会有这些异常,如果是现场面试中,一定要考虑到!

// 版本一
class Solution {
private:
    const string letterMap[10] = {
        "", // 0
        "", // 1
        "abc", // 2
        "def", // 3
        "ghi", // 4
        "jkl", // 5
        "mno", // 6
        "pqrs", // 7
        "tuv", // 8
        "wxyz", // 9
    };
public:
    vector result;
    string s;
    void backtracking(const string& digits, int index) {
        if (index == digits.size()) {
            result.push_back(s);
            return;
        }
        int digit = digits[index] - '0';        // 将index指向的数字转为int
        string letters = letterMap[digit];      // 取数字对应的字符集
        for (int i = 0; i < letters.size(); i++) {
            s.push_back(letters[i]);            // 处理
            backtracking(digits, index + 1);    // 递归,注意index+1,一下层要处理下一个数字了
            s.pop_back();                       // 回溯
        }
    }
    vector letterCombinations(string digits) {
        s.clear();
        result.clear();
        if (digits.size() == 0) {
            return result;
        }
        backtracking(digits, 0);
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度: O(3^m * 4^n),其中 m 是对应四个字母的数字个数,n 是对应三个字母的数字个数

  • 空间复杂度: O(3^m * 4^n)

一些写法,是把回溯的过程放在递归函数里了,例如如下代码,我可以写成这样:(注意注释中不一样的地方)

// 版本二
class Solution {
private:
        const string letterMap[10] = {
            "", // 0
            "", // 1
            "abc", // 2
            "def", // 3
            "ghi", // 4
            "jkl", // 5
            "mno", // 6
            "pqrs", // 7
            "tuv", // 8
            "wxyz", // 9
        };
public:
    vector result;
    void getCombinations(const string& digits, int index, const string& s) { // 注意参数的不同
        if (index == digits.size()) {
            result.push_back(s);
            return;
        }
        int digit = digits[index] - '0';
        string letters = letterMap[digit];
        for (int i = 0; i < letters.size(); i++) {
            getCombinations(digits, index + 1, s + letters[i]);  // 注意这里的不同
        }
    }
    vector letterCombinations(string digits) {
        result.clear();
        if (digits.size() == 0) {
            return result;
        }
        getCombinations(digits, 0, "");
        return result;
​
    }
};

我不建议把回溯藏在递归的参数里这种写法,很不直观,我在二叉树:以为使用了递归,其实还隐藏着回溯 这篇文章中也深度分析了,回溯隐藏在了哪里。

所以大家可以按照版本一来写就可以了。

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