算法学习系列（二十五）：质数

引言

接下来的几篇文章主要用来讲解数学知识，这个数学可谓是很重要的，不论是算法竞赛还是找工作面试，这个数学知识还是会经常考的，主要考察你的思维能力。本文主要介绍了质数的概念、判定、分解质因数、筛质数，然后那就开始吧。

一、质数概念

在大于1的自然数中，只包含1和它本身这两个约数，就叫质数，也叫素数（这两个是一个东西，叫法不一样而已）
算数基本定理：每一个大于1的自然数N都可以写成$N=p_1^{{\alpha }_1}\cdot p_2^{{\alpha }_2}\cdot p_3^{{\alpha }_3}\cdot \cdots \cdot p_k^{{\alpha }_k},p_i为质数$

二、质数的判定

1.试除法

一般是从2到n-1遍历，只要n%i==0，那就说明不是质数
但可以从2~sqrt(n)，因为如果n为约数，那么它的约数数量肯定是一个偶数，是成对出现的，所以我们只要枚举每对约数中较小的那个就可以判断了。
当然你可以拿sqrt(n)来给一个 t 赋值，不能每次都计算sqrt不然就会很慢
或者可以直接拿i <= n / i，因为如果 n 是约数的话，i 和 n / i 都能被n整除，那么我们枚举的都是较小的，所以一定i <= n / i的，时间复杂度降为$O(\sqrt{N})$

bool isPrime(int n)
{
    if(n < 2) return false;
    
    for(int i = 2; i <= n / i; ++i)
    {
        if(n % i == 0) return false;
    }
    
    return true;
}

三、分解质因数

本来是从2-n遍历的，但是由于一个数中大于$\sqrt{n}$的约数只有一个，所以可以先从 $\sqrt{n}$ 最后再判断一下就可以了，时间复杂度降到了$O(\sqrt{N})$

void divide(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n / i; ++i)
    {
        int s = 0;
        if(n % i == 0)
        {
            while(n % i == 0) s++,n /= i;
            printf("%d %d\n", i, s);
        }
    }
    
    if(n > 1) printf("%d %d\n", n, 1);
    puts("");
}

四、筛质数

题目描述：

给定一个正整数 n，请你求出 1∼n 中质数的个数。

输入格式
共一行，包含整数 n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示 1∼n 中质数的个数。

数据范围
1≤n≤106

输入样例：
8
输出样例：
4

1.埃氏筛法

思想：根据算术基本定理，用质数把每一个质数的倍数筛掉就可以了，时间复杂度:$O(N\log \log N)$

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e6+10;

int primes[N], cnt;
bool st[N];

int get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if(!st[i])
        {
            primes[cnt++] = i;
            for(int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = true;
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

	get_primes(n);    

    printf("%d\n", cnt);
    
    return 0;
}

2.线性筛法

思想：每一个约数只会被它的最小质因子筛掉，时间复杂度$O(N)$

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e6+10;

int primes[N], cnt;
bool st[N];

int get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if(!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for(int j = 0; primes[j] * i <= n; ++j)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if(i % primes[j] == 0) break;  // primes[j]一定是i的最小质因子
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    get_primes(n);
    
    printf("%d\n", cnt);
    
    return 0;
}