力扣刷题第二天 统计整数数目（每天一题）

统计整数数目

给你两个数字字符串 num1 和 num2 ，以及两个整数 max_sum 和 min_sum 。如果一个整数 x 满足以下条件，我们称它是一个好整数：

• num1 <= x <= num2
• min_sum <= digit_sum(x) <= max_sum.

请你返回好整数的数目。答案可能很大，请返回答案对 109 + 7 取余后的结果。

注意，digit_sum(x) 表示 x 各位数字之和。

示例一

输入：num1 = "1", num2 = "12", min_num = 1, max_num = 8
输出：11
解释：总共有 11 个整数的数位和在 1 到 8 之间，分别是 1,2,3,4,5,6,7,8,10,11 和 12 。所以我们返回 11 。

• 1 <= num1 <= num2 <= 1022
• 1 <= min_sum <= max_sum <= 400

思路：

题目要求求解数值范围在 nums1到 nums2之间，并且数位和在 min_sum到 max_sum之间的整数个数，其中nums1和 nums2以字符串形式给出。
​

定义函数 get(num)，用于求解 1∼num1范围内有多少整数数位和介于 min_sum∼max_sum之间，那么原问题就转换为求解 get(num2)−get(num1−1)

设 num 共有n 位，我们从最高位（即第 n−1 位）开始遍历，目前聚焦于第 i 位，前面第 n−1 位到第 i+1 位的数位和为 sum，现在需要考虑第 i 位填充的数字 x。通常 x 可以取 0∼9 中的任意一个数字，但当第 n−1 位到第 i+1 位放置的数字都与 num 一样时，x 的取值范围缩小至 0∼num[i]，在代码中，当 limit 为 true 时，表示这一特殊情况发生。

试想，如果 limit 标识为false，x 取值范围为 0∼9，那么后续的第 i−1 到第 0 位的取值范围都是 0∼9。这样一来，子问题就与 num 的值无关。我们定义状态 d[i][j] 表示还剩第 i 位到第 0 位的数字未填，而已填的数字位数之和为 j 时，符合条件的数字个数有多少个。在求解时，子问题与 n 的值无关，也与 num 无关，因此只有当limit 为 false 可以使用或更新 d[i][j]。

当然，limit 这一维度也可以加入到状态中，但 limit 为 true 的子问题只会被调用一次，将答案记忆化存储毫无意义，并且每次重新调用 get 时都需要重新计算所有状态答案，得不偿失。因此定义函数 dfs(i,j,limit) 用于问题求解，在 limit 为 false 时借助 d[i][j] 防止重复计算，加快执行速度。

 细节：

我们采用记忆化搜索的方式实现数位动态规划，将所有d[i][j] 的初始值设置为 −1。递归过程：

  若 limit 为 true 时，在 0∼num[i] 范围内遍历 x，并递归调用 dfs(i−1,j+x,limit&&x==nums[i])，统计所有返回值的和作为答案。
  若 limit 为 false 时，若 d[i][j] ！= −1，则直接返回 d[i][j]，否则在 0∼9 范围内遍历 x，并递归调用 dfs(i−1,j+x,false)，统计所有返回值的和并更新 d[i][j]。
若 j 已经大于 max_sum，可以剪枝，直接返回 0。当 i 等于 −1 时，递归结束，此时若 j≥min_sum 则返回 1，否则返回 0。

  需要注意的是，由于上文中第 n−1 位表示数字的最高位，第 0 位表示数字的最低位（即个位），因此需要将题目中输入的数字翻转。

  另外在计算最终结果时一定记得num2和num1-1的结果相减后，加上一个模后再取一次模，因为取模前提下后者不一定小于前者，最终答案肯定不能是负数。

class Solution {

        static constexpr int N = 23;
        static constexpr int M = 401;
        static constexpr int MOD = 1e9 + 7;
        int d[N][M];
        string num;
        int min_sum;
        int max_sum;

        int dfs(int i,int j,bool limit)
        {
            if(j>max_sum)
            {
                return 0;
            }
            if(i == -1)
            {
                return j >=min_sum;//当 i 等于−1时，递归结束，此时若 j≥min_sum则返回 1，否则返回0
            }
            if(!limit && d[i][j] != -1)
            {
                return d[i][j];
            }
            int res = 0;
            int up = limit ? num[i] - '0' : 9;
            for (int x = 0; x <= up; x++)
            {
                res = (res + dfs(i - 1, j + x, limit && x==up)) % MOD;
            }
            if(!limit)
            {
                d[i][j] = res;
            }
            return res;
        }

        int get(string num)
        {
            reverse(num.begin(),num.end());// 反转字符串
            this->num = num;// 将反转后的字符串保存到成员变量中
            return dfs(num.size() - 1, 0 ,true);// 调用dfs函数进行递归计算
        }

        //求解 num - 1，先把最后一个非 0 字符减去 1，再把后面的 0 字符变为 9
        string sub(string num)
        {
            int i = num.size() - 1;
            while(num[i] == '0')
            {
                i--;
            }
            num[i]--;
            i++;
            while(i < num.size())
            {
                num[i] = '9';
                i++;
            }
            return num;
        }
      
    public:
    int count(string num1, string num2, int min_sum, int max_sum) {
        memset(d,-1,sizeof d);
        this->min_sum = min_sum;
        this->max_sum = max_sum;
        return (get(num2) - get((sub(num1))) + MOD) % MOD;//一定记得num2和num1-1的结果相减后，加上一个模后再取一次模，因为取模前提下后者不一定小于前者，最终答案肯定不能是负数。
    }
};