智能机器人与旋量代数(5)

2.3 李群与李子群

定义2.3 对于给定群 $G$ 的一个子群 $H$，它应具有如下特性：

(1). 对于$H$中的任一元素$h$，应满足$h\in G$，但$G$中的元素$g$不一定属于$H$.

(2). $H$ 应具有群的代数结构：对于$H$中的任一元素$h$，都有$h^{-1}\in H$；对于$h_1,h_2\in H$,都有$h_1\cdot h_2\in H$.

(3). $G$与$H$具有相同的单位元素$e$.

李子群不仅包含子群的上述全部特征，还是对应李群流行上的自流形(submanifold).

李子群的运算通常表现为以下三种模式：

(1). 组合运算(Composition)

两个子群的组合不一定是群，而是一个流形，只有具有封闭性才可能是群。

两个子群组合得到的流形通常可以通过两种运算模式来实现：**直积 ($G_1\times G_2$)**与 半直积($G1⋉G_2$) 运算。

定义2.4 给定群$G$和它的两个子群 $U$ 和 $V$，其中 $u\in U,v\in V$，由$U$与$V$的组合构成 $G$ 的子流形，其中元素用 $(u,v)$ 表示，定义直积运算$U\times V$为：
$$U\times V=(u_1,v_1)(u_2,v_2)=(u_1{u}_2,v_1{v}_2)$$

在直积运算模式下，两个子群组合后得到的流形符合群的条件，当且仅当它们具有可交换性时。

定义2.5 给定群 $G$ 和它的两个子群，分别为子群$U$和交换子群$V$，其中 $u\in U,v\in V$，$U$ 在 $V$ 上的运算满足线性关系，由$U$与$V$的组合构成$G$的子流形，其中元素用 $(u,v)$ 表示，定义半直积运算 $U⋉V$为：
$$U⋉V=(u_1,v_1)(u_2,v_2)=(u_1{u}_2,v_1+u_1(v_2))$$

(2). 交运算(Intersection)

定义2.6 给定群$G$和它的两个子群，则这两个子群的交 $G_1\cap G_2$仍然是$G$的一个子群。

(3). 商运算(quotient)

如果$H$是$G$的子群，则可通过$H$给出$G$中元素的等效关系，即如果满足下述关系式，则$G$中的两个元素等效：
$$g_1\equiv g_2⟺g_1=h{g}_2,g_1,g_2\in G,h\in H$$

这种等效被称为：陪集(coset)，对应的陪集空间称为 $H$ 的商空间(quotient space)，记为 $G/H$ 或 $g$ 。因此，如果 $h\in H$，则 $[g]=[hg]$。

注：商空间肯定是个流形，但不一定是李群。将这个流形称为陪集空间(coset space)或齐次空间(homogeneous space).

若使商空间成为李群或李子群，则子群$H$必须是正则李子群，通常记作$N$。

定义2.7 正则李子群是指在任何共轭变换下保持不变的李子群，即：
$$gn{g}^{-1}\in N,g\in G,n\in N$$
或简记为:
$$gn{g}^{-1}\sim N$$
更进一步地，商空间内两个元素的积可以写作$[g_1][g_2]=[g_1{g}_2]$

即:
$$(n_1{g}_1)(n_2{g}_2)=n_1(g_1{n}_2{g}_1^{-1})g_1{g}_2=n_1{n}_3{g}_1{g}_2$$
其中
$$n_3=g_1{n}_2{g}_1^{-1}\in N$$