SPFA算法---单源最短路径问题
概念
SPFA算法（Shortest Path Faster Algorithm）是一种解决单源最短路径问题的算法，用邻接表或邻接矩阵来存储图，主要用于处理带有负权边的图。其基本思路是通过动态逼近法对图进行松弛操作，不断更新结点的最短路径估计值，直至收敛到最优解。
思路与理解
-
初始化： 将所有结点的最短路径估计值初始化为无穷大，然后将起始结点的最短路径估计值设为0。将起始结点放入队列中。
-
动态逼近法： 通过不断从队列中取出结点进行松弛操作，更新结点的最短路径估计值。具体步骤如下：
- 从队列中取出一个结点u。
- 遍历u的所有邻接结点v，对v进行松弛操作，即通过u更新v的最短路径估计值。
- 如果v的最短路径估计值有所调整，且v不在当前队列中，则将v放入队尾。
-
判断负环： 在执行过程中，检测是否存在负环。两种方法：
- 在算法开始前，通过拓扑排序判断图是否有环，一般不采用，因为可能浪费时间。
- 统计每个结点进入队列的次数，如果某个结点的入队次数超过图的顶点数N，则存在负环。
-
终止条件： 当队列为空时，算法终止。
例子
一个简单的图示例，其中有5个结点（城市）：A、B、C、D、E。边上的数字表示两城市间的距离
A --2--> B
| /
1 3
| /
C --4--> D
\
5
\
E
假设我们从城市A开始，初始化距离数组为无穷大，将A的最短路径估计值设为0。然后将A加入队列
第一轮
- 从队列中取出A。
- 更新B和C的最短路径估计值。
- 将B和C加入队列
A(0)
|
2
| 1
B(2) -- C(1)
|
3
|
D(∞)
|
4
|
E(∞)
第二轮
- 从队列中取出B
- 更新D的最短路径估计值
- 将D加入队列
A(0)
|
2 | 1
B(2) -- C(1)
|
3
|
D(∞)
|
4
|
E(∞)
第三轮
- 从队列中取出C
- 更新D的最短路径估计值
- 将D加入队列
A(0)
|
2
| 1
B(2) -- C(1)
|
3
|
D(5)
|
4
|
E(∞)
第四轮
- 从队列中取出D
- 更新E的最短路径估计值
- 将E加入队列
A(0)
|
2 | 1
B(2) -- C(1)
|
3
|
D(5)
|
4
|
E(9)
第五轮
- 从队列中取出E
- 没有相邻结点，结束
具体应用
spfa求最短路
给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。
请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 impossible。
数据保证不存在负权回路。
输入格式
第一行包含整数 n 和 m
接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。
输出格式
输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出 impossible。
数据范围
1≤n,m≤105
图中涉及边长绝对值均不超过 10000。
输入样例：
3 3
1 2 5
2 3 -3
1 3 4
输出样例：
2
代码与思路
- 通过
add方法建立邻接表，表示图中的有向边信息。 - 使用SPFA算法求解单源最短路径。算法维护一个队列，不断松弛每个结点的邻接边，直到没有可以松弛的边为止。
- 最终得到起点到终点的最短路径长度，如果为0x3f3f3f3f，表示不可达，输出"impossible"；否则输出最短路径长度
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int n, m, idx, N = 100010;
static int[] ne = new int[N], e = new int[N], w = new int[N], h = new int[N], dis = new int[N];
static boolean[] state = new boolean[N];
// 添加一条有向边，起点是a，终点是b，权重是c
public static void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
w[idx] = c;
h[a] = idx ++;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
n = in.nextInt();
m = in.nextInt();
Arrays.fill(h, -1);
// 读取图的边信息，建立邻接表
for (int i = 0; i < m; i++) {
int x = in.nextInt();
int y = in.nextInt();
int z = in.nextInt();
add(x, y, z);
}
// 使用SPFA算法求解单源最短路径
int t = spfa();
// 输出结果
if (t == 0x3f3f3f3f) {
System.out.println("impossible");
} else {
System.out.println(dis[n]);
}
}
// SPFA算法，返回从起点到终点的最短路径长度
private static int spfa() {
Arrays.fill(dis, 0x3f3f3f3f);
dis[1] = 0;
Queue<Integer> q = new LinkedList<>();
q.offer(1);
state[1] = true;
while (!q.isEmpty()) {
int t = q.poll();
state[t] = false;
// 遍历t的所有邻接点
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
// 如果通过t到达j的路径更短，则更新最短路径估计值
if (dis[j] > dis[t] + w[i]) {
dis[j] = dis[t] + w[i];
// 如果j不在队列中，将j加入队列
if (!state[j]) {
q.offer(j);
state[j] = true;
}
}
}
}
return dis[n];
}
}
spfa判断负环
给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。
请你判断图中是否存在负权回路。
输入格式
第一行包含整数 n 和 m。
接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。
输出格式
如果图中存在负权回路，则输出 Yes，否则输出 No。
数据范围
1≤n≤2000
1≤m≤10000
图中涉及边长绝对值均不超过 10000。
输入样例：
3 3
1 2 -1
2 3 4
3 1 -4
输出样例：
Yes
代码与思路
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int n, m, idx, N = 100010;
static int[] ne = new int[N], e = new int[N], w = new int[N],
h = new int[N], dis = new int[N], cnt = new int[N];
static boolean[] state = new boolean[N];
// 添加一条有向边，起点是a，终点是b，权重是c
public static void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
w[idx] = c;
h[a] = idx++;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
n = in.nextInt();
m = in.nextInt();
Arrays.fill(h, -1);
// 读取图的边信息，建立邻接表
for (int i = 0; i < m; i++) {
int x = in.nextInt();
int y = in.nextInt();
int z = in.nextInt();
add(x, y, z);
}
// 判断图中是否存在负环
if (!spfa()) {
System.out.println("No");
} else {
System.out.println("Yes");
}
}
// SPFA算法，判断图中是否存在负环
private static boolean spfa() {
Queue<Integer> q = new LinkedList<>();
// 初始化队列，将所有点加入队列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
state[i] = true;
q.offer(i);
}
// 遍历队列
while (!q.isEmpty()) {
int t = q.poll();
state[t] = false;
// 遍历t的所有邻接点
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
// 如果通过t到达j的路径更短，则更新最短路径估计值
if (dis[j] > dis[t] + w[i]) {
dis[j] = dis[t] + w[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;
// 如果j不在队列中，将j加入队列
if (cnt[j] >= n) return true;
if (!state[j]) {
state[j] = true;
q.offer(j);
}
}
}
}
return false;
}
}