不等式证明（三）

设$p,q$ 是大于1的常数，并且$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.证明：对于任意的$x>0$，有$\frac{1}{p}{x}^p+\frac{1}{q}\ge x$.

证明：

设
$$f(x)=\frac{1}{p}{x}^p+\frac{1}{q}-x\text{\hspace{1em}(1)}$$
只需证得$f(x)\ge 0$即可，求导
$$f^{\prime }(x)=x^{p-1}-1\text{\hspace{1em}(2)}$$
显然，导函数并不恒大于0或小于0，有
$$f^{\prime }(x)\{\begin{array}{ll}<0& x<1\\ =0& x=1\\ \text{>}0& x>1\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
有（3）式，可得在$x=1$左边，$f(x)$为减函数;在$x=1$右边，$f(x)$为增函数。

根据单调性和最值定理
$$f(1)=0\text{\hspace{1em}(4)}$$
因此
$$f(x)\ge 0,即\frac{1}{p}{x}^p+\frac{1}{q}\ge x$$
证毕。