C++高精度问题

高精度前言

C++中int不能超过2^31-1,最长的long long也不能超过2^63-1,所以我们在题目中如果碰到了很长很长的数,并且需要进行大数运算时,就需要高精度存储。

高精度总体思路

由于int和long long的限制,我们要想存放很长的数就需要利用数组存储,C++中可以利用STL中的vector容器存储

读取: 由于数据很大,用int存放不下,一般利用字符串读取

数据存放:用vector倒序存储,即将小位放到前面,将大位放到后面,这样方便数据处理

高精度算法

高精度加法

示例题目:

C++高精度问题_第1张图片

C++高精度问题_第2张图片

我们一般习惯是加法从个位数开始运算, t表示进位,初始t为0。先将个位数相加,图中为6+5=11

在加法中11%10 = 1为个位,11/10=1为进位,即t = 1,所以十位数相加为2+4+1=7,如此往复。根据此思路即可写出代码

//高精度加法
#include
using namespace std;
#include

vector add(vector A,vector B)
{
    //进位t初始为0
    int t = 0;
    vector C;
    //i到任意一方结尾停止
    for(int i = 0;i A,B;
    //利用字符串读取
    string a,b;
    cin>>a>>b;
    //将高位存放在后面,低位存放的前面
    for(int i = a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
    for(int i = b.size()-1;i>=0;i--) B.push_back(b[i]-'0');
    //auto为自动判断类型,会自动判断函数的返回类型
    auto C = add(A,B);
    for(int i = C.size()-1;i>=0;i--) cout<

其中a[i]-'0'是将字符类型的数字转换为整型类型的数字

需要注意的是这段代码

if(t) C.push_back(t);

这为了解决50+50 = 100类似的情况,最后一次计算后如果t=1,则需要在最高位补1。

高精度减法

示例题目: 

C++高精度问题_第3张图片

减法计算思路与加法相似

C++高精度问题_第4张图片

此时t表示的是借位,总体计算公式为 a[i]-b[i]-借位。

借位的计算

C++高精度问题_第5张图片

如果这次的A[i]-B[i] >= 0则下次的借位为0,反之下次计算的借位为1。

解决了计算的问题,减法还有负数的问题,如果小数减去大数要为负数,所以我们需要自己写一个判断两数大小的函数

bool cmp(vector& A,vector& B)
{
    if(A.size() != B.size()) return A.size()>B.size();
    for(int i =A.size()-1;i>=0;i--)
    {
        if(A[i] != B[i]) return A[i]>B[i];
    }
    return true;
}

先比较两数的位数,再依次比较两数的每一位,到最后还未得出结果,则返回true表示两数相等

在输出时分类讨论,负数先输出负号在输出数据即可

完整代码

//高精度减法模板
#include
using namespace std;
#include
bool cmp(vector& A,vector& B)
{
    if(A.size() != B.size()) return A.size()>B.size();
    for(int i =A.size()-1;i>=0;i--)
    {
        if(A[i] != B[i]) return A[i]>B[i];
    }
    return true;
}


vector sub(vector& A,vector& B)
{
    vector C;
    for(int i=0,t=0;i1 && C.back() ==0  ) C.pop_back();
    return C;
}

int main()
{
    string a,b;
    vector A,B;
    cin>>a>>b;
    for(int i = a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
    for(int i = b.size()-1;i>=0;i--) B.push_back(b[i]-'0');
    //正数
    if(cmp(A,B))
    {
        auto C = sub(A,B);
        for(int i = C.size()-1;i>=0;i--) cout<=0;i--) cout<

在题目中可能会出现需要去除前导0的情况

C++高精度问题_第6张图片

例如输出023,这个0没有实际意义,需要去除,被称为前导0

利用下面这段代码即可去除前导0

while(C.size()>1 && C.back() ==0  ) C.pop_back();

高精度乘法

示例题目:

C++高精度问题_第7张图片

高精度乘法一般只考虑大数乘以小数

C++高精度问题_第8张图片

与加法十分类似,所以具体思路参考加法,需要注意的是,乘法也需要去前导0.

#include
using namespace std;
#include

vector mul(vector A,int b)
{
    vector C;
    int t = 0;
    for(int i = 0;i1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

int main()
{
    string a;
    int b;
    vector A;
    cin>>a>>b;
    for(int i = a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
    auto C = mul(A,b);
    for(int i = C.size()-1;i>=0;i--) cout<

高精度除法

实例题目

C++高精度问题_第9张图片

高精度除法需要注意的是余数,并且与加减乘法不同的是,除法是从高位开始计算的,而加减乘法是从低位开始计算的,需要加以区别

C++高精度问题_第10张图片

模拟除法过程我们可以发现,每次的被除数是上次计算得到的余数r*10加上a[i],在图中为

1*10+5=15,我们将r/b入数组即可。

完整代码

#include
using namespace std;
#include
#include

vector div(vector& A,int b,int& r)//r传入r的地址,便于直接对余数r进行修改
{
    r = 0;
    vector C;
    for(int i = A.size()-1;i>=0;i--)//对A从最高位开始处理
    {
        r = r*10+A[i];//对A从最高位开始处理
        C.push_back(r/b);//将上次的余数*10在加上当前位的数字,便是该位需要除的被除数
        r = r%b;//余数
    }
    //由于在除法运算中,高位到低位运算,因此C的前导零都在vector的前面而不是尾部,vector只有删除最后一个数字pop_back是常数复杂度,而对于删除第一位没有相应的库函数可以使用,而且删除第一位,其余位也要前移,
    //因此我们将C翻转,这样0就位于数组尾部,可以使用pop函数删除前导0
    reverse(C.begin(),C.end());
    while(C.size()>1 && C.back() ==0 ) C.pop_back();
    return C;
}
int main()
{
    string a;
    int b;
    cin>>a>>b;
    vector A;
    for(int i =a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
    int r;
    auto C = div(A,b,r);
    for(int i = C.size()-1;i>=0;i--) cout<

高精度除法同样需要去除前导0,不过不同的是,由于在除法运算中,高位到低位运算,因此C的前导零都在vector的前面而不是尾部,vector只有删除最后一个数字pop_back是常数复杂度,而对于删除第一位没有相应的库函数可以使用,而且删除第一位,其余位也要前移,因此我们可以利用reverse()函数将C翻转,这样0就位于数组尾部,可以使用pop函数删除前导0

此篇为学习之余的总结,作为笔记使用,如果有错误还请指正,谢谢!

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