优美的暴力——树上启发式合并（dsu on tree）

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dsu on tree

前言

在我认为，这个并不能说单独列出来成为一个算法，更恰当的说，是一种思想、技巧。反正挺简单的，也很有趣（谁会拒绝一个优美的暴力呢），所以写篇笔记记录一手。

dsu 是什么

dsu 一般指“disjoint set union”，即并查集。那么 dsu on tree 也就是指树上的合并和查询操作。

但是 dsu on tree 的实现却跟普通并查集没有太大联系。共同点仅在于功能上都能合并集合、查询。

dsu on tree 有什么用

dsu on tree 可称为树上启发式合并，是一种优美的暴力，合并子树的时候，把轻儿子合并到重儿子上去。

由于保存合并结果的是一个全局数组。所以每次计算新的字数时，都需要清空。我们可以先计算轻儿子，把重儿子留到最后，重儿子可以不用清零，直接把重儿子的信息拿去计算父亲。

这样一来，在暴力的基础上，将重儿子留到了最后，少算了一次重儿子，时间可以来到优秀的 $O(n\log n)$（暴力是纯粹的 $O(n^2)$）。

从题目出发

题目：给一棵根为1的树，每次询问子树颜色种类数。

纯暴力

void update(int x, int f, int flg){
    cnt[col[x]] += flg;
    if(cnt[col[x]] == 0 && flg == -1) cols--;
    if(cnt[col[x]] == 1 && flg == 1) cols++;
    for(int i = fir[x]; i; i = es[i].nxt){
        int tv = es[i].v;
        if(tv != f) update(tv, x, flg);
    }
}

void dfs(int r, int fa){// 求子树r中的信息, fa为r的父亲
    for(int i = fir[r]; i; i = es[i].nxt){ // 遍历r的邻接点
        int tv = es[i].v;
        if(tv != fa) dfs(tv, r);
    }
    update(r, fa, 1);
    ans[r] = cols;
    update(r, fa, -1);
}

直接 $O(n^2)$ T 飞。

当然你也可以把 dfs 写成这样（更接近 dsu 的打法）：

void dfs(int r, int fa){// 求子树r中的信息, fa为r的父亲
    for(int i = fir[r]; i; i = es[i].nxt){ // 遍历r的邻接点
        int tv = es[i].v;
        if(tv != fa){
            dfs(tv, r);
            update(tv, r, -1);
        }
    }
    update(r, fa, 1);
    ans[r] = cols;
}

dsu

现在我们来优化一手暴力。先预处理出轻、重儿子，然后 dfs 轻儿子、再 dfs 重儿子。

void dfs(int x, int f){
    for(int i = fir[x]; i; i = es[i].nxt){
        int tv = es[i].v;
        if(tv != son[x] && tv != f){
            dfs(tv, x);
            update(tv, x, -1);
        }
    }
    if(son[x]) dfs(son[x], x);
    cnt[col[x]]++;
    if(cnt[col[x]] == 1) cols++;
    for(int i = fir[x]; i; i = es[i].nxt){
        int tv = es[i].v;
        if(tv != son[x] && tv != f){
            update(tv, x, 1);
        }
    }
    ans[x] = cols;
}

时间复杂度来到优秀的 $O(n\log n)$ ！！

时间复杂度分析

但是为什么呢？

因为根据轻重链划分的思想，任何一条到根的路径上，轻边不会超过 $\log n$ 条，重链是被轻边分隔的，数量也不会超过 $\log n$ 条。

每棵子树到父亲的边为轻边，做一次 update，最多做 $\log n$ 次。

一次 update 可以看作是轻儿子想重儿子的合并操作。

每个节点最多合并 $\log n$ 次，总的时间复杂度为 $O(n\log n)$ 次。

完整代码

code

#include 
using namespace std;
#define MAXN 100005
int n, m, ecnt, cols, col[MAXN], fir[MAXN], sz[MAXN];
int son[MAXN], cnt[MAXN], ans[MAXN];
struct edge
{
    int v, nxt;
} es[MAXN << 1];
void adde(int a, int b)
{
    es[++ecnt].v = b, es[ecnt].nxt = fir[a], fir[a] = ecnt;
    es[++ecnt].v = a, es[ecnt].nxt = fir[b], fir[b] = ecnt;
}
void dfs1(int x, int f)
{
    sz[x]++;
    int maxz = 0;
    for (int i = fir[x]; i; i = es[i].nxt)
    {
        int tv = es[i].v;
        if (tv != f)
        {
            dfs1(tv, x);
            if (sz[tv] > maxz)
                maxz = sz[tv], son[x] = tv;
            sz[x] += sz[tv];
        }
    }
}
void update(int x, int f, int flg)
{
    cnt[col[x]] += flg;
    if (cnt[col[x]] == 0 && flg == -1)
        cols--;
    if (cnt[col[x]] == 1 && flg == 1)
        cols++;
    for (int i = fir[x]; i; i = es[i].nxt)
    {
        int tv = es[i].v;
        if (tv != f)
            update(tv, x, flg);
    }
}
void dfs2(int x, int f)
{
    for (int i = fir[x]; i; i = es[i].nxt)
    {
        int tv = es[i].v;
        if (tv != son[x] && tv != f)
            dfs2(tv, x), update(tv, x, -1);
    }
    if (son[x])
        dfs2(son[x], x);
    cnt[col[x]]++;
    if (cnt[col[x]] == 1)
        cols++;
    for (int i = fir[x]; i; i = es[i].nxt)
    {
        int tv = es[i].v;
        if (tv != son[x] && tv != f)
            update(tv, x, 1);
    }
    ans[x] = cols;
}
int main()
{
    int a, b;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        scanf("%d %d", &a, &b);
        adde(a, b);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &col[i]);
    dfs1(1, 0);
    dfs2(1, 0);
    scanf("%d", &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        scanf("%d", &a);
        printf("ans: %d\n", ans[a]);
    }
    return 0;
}

Lomsat gelral

这个就是板题了，也可以线段树合并去做。但是 dsu on tree 明显更短，更好打。

code

#include 
using namespace std;
#define MAXN 100025
#define LL long long int
LL sum, ans[MAXN];
int n, m, ecnt, maxcnt, col[MAXN], fir[MAXN], sz[MAXN], son[MAXN], cnt[MAXN];
struct edge
{
    int v, nxt;
} es[MAXN << 1];
void adde(int a, int b)
{
    es[++ecnt].v = b, es[ecnt].nxt = fir[a], fir[a] = ecnt;
    es[++ecnt].v = a, es[ecnt].nxt = fir[b], fir[b] = ecnt;
}
void dfs1(int x, int f)
{
    sz[x]++;
    int maxz = 0;
    for (int i = fir[x]; i; i = es[i].nxt)
    {
        int tv = es[i].v;
        if (tv != f)
        {
            dfs1(tv, x);
            if (sz[tv] > maxz)
                maxz = sz[tv], son[x] = tv;
            sz[x] += sz[tv];
        }
    }
}
void update(int x, int f, int flg)
{
    cnt[col[x]] += flg;
    if (flg == 1)
    {
        if (cnt[col[x]] > maxcnt)
            maxcnt = cnt[col[x]], sum = col[x];
        else if (cnt[col[x]] == maxcnt)
            sum += col[x];
    }
    else
        maxcnt = 0, sum = 0;
    for (int i = fir[x]; i; i = es[i].nxt)
    {
        int tv = es[i].v;
        if (tv != f)
        {
            update(tv, x, flg);
        }
    }
}
void dfs2(int x, int f)
{
    for (int i = fir[x]; i; i = es[i].nxt)
    {
        int tv = es[i].v;
        if (tv != son[x] && tv != f)
            dfs2(tv, x), update(tv, x, -1);
    }
    if (son[x])
        dfs2(son[x], x);
    cnt[col[x]]++;
    if (cnt[col[x]] > maxcnt)
        maxcnt = cnt[col[x]], sum = col[x];
    else if (cnt[col[x]] == maxcnt)
        sum += col[x];
    for (int i = fir[x]; i; i = es[i].nxt)
    {
        int tv = es[i].v;
        if (tv != son[x] && tv != f)
            update(tv, x, 1);
    }
    ans[x] = sum;
}
int main()
{
    int a, b;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &col[i]);
    for (int i = 1; i < n; i++)
        scanf("%d %d", &a, &b), adde(a, b);
    dfs1(1, 0);
    dfs2(1, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%lld ", ans[i]);
    return 0;
}