射影几何学的复兴（二）

综合的欧几里得几何学

欧几里得几何学出现了一些新成果，大概产生了数百个新定理，显示出这门古老学科的新发展。
热尔岗(Joseph Diaz Gergonne,1771-1859)和彭赛列首先发表了如下定理：每个三角形有9个特别的点：各边的中点、三条高的垂足、各顶点与垂心连线的中点，这九个点全在一个圆周上，称为九点圆。这个定理的发现常被归功于K·费尔巴哈（Karl Wilhelm Feuerbach,1800–1834，是一个高中老师，不是那个搞哲学的费尔巴哈)，1822年他在书中发表了这一证明，并给出了九点圆的另一事实：与一条边和另外两条边相切的圆是旁切圆（旁切圆圆心位于两个外角平分线和较远的那个内角的角平分线交点），费尔巴哈定理说九点圆与内切圆以及三个旁切圆都相切。

1816年克雷尔指出怎样在三角形内部求一点P，使P与三角形顶点的连线和三角形的边三个夹角相等，即图中∠1=∠2=∠3，怎么求点P'使∠P'AC=∠P'CB=∠P'BA

图中∠1=∠2=∠3

阿波罗尼奥斯把圆锥曲线看成圆锥的截线，引起了人们的讨论，到17世纪人们又把圆锥曲线作为平面轨迹进行讨论，1822年当德兰(Germinal Pierre Dandelin,1794-1847)证明了一个圆锥曲线和圆锥之间的定理：如果两球面内切于一个圆锥且都与一个已知平面相切，该平面与圆锥交于一条圆锥曲线，那么球面与平面的接触点是圆锥曲线的焦点，球面与圆锥相切的圆所在的平面同已知平面的交线是圆锥曲线的准线。

19世纪人们讨论不依靠变分法而是用纯几何的方法求解极大极小问题。施泰纳(Jacob Steiner)用综合法证明了几个定理，如等周定理：在具有一定周长的平面图形中，圆的面积最大。Steiner给了许多证明，可惜他假定了存在一条曲线使它包围着最大的面积，狄利克雷劝了他好几次说他的证明不完全，但施泰纳非坚持说这是不证自明的（虽然1842年他自己也说，假定存在最大图形，则容易证明）
1870s魏尔斯特拉斯通过变分法解决了困扰数学家多年的极大化曲线的存在性证明问题，后来卡拉西奥多里（Constantin Caratheodory,1873-1950）和Eduard Study在不用变分法的情况下严格化了施泰纳的证明，他们的证明（有两个）是直接的，而Steiner的方法是间接的。施瓦茨（哥廷根、柏林教授，研究偏微分方程和分析学）对三维等周问题给出了严格证明。

1842年施泰纳也证明在具有一定周长的三角形中，等边三角形面积最大；他还得到一个结果，如果A,B,C是给定的三点，且三角形ABC的每个角都小于120°，那么使PA+PB+PC最小的点P正好使P处的每个角为120°，但如果三角形某个角大于等于120°，那么P与A重合。这个结果早在1647年就由卡瓦列里证明，但Steiner不知道，他也把结果推广到n个点。

P处每个角为120°

施瓦茨解决了以下问题：已知一个锐角三角形，考虑所有顶点在原三角形三边上的三角形，找周长最短的三角形。施瓦茨用综合法证明，这个周长最短的三角形的三顶点就是已知锐角三角形三个高的垂足。

顶点为原三角形垂足

1899年霍普金斯教授Frank Morley发现了欧几里得几何学的一条新定理，后来许多人发表了它的证明。定理说，如果画出三角形每个顶角的三等分线，则相邻的三等分线交于一个等边三角形的顶点。他的创新在于涉及了三等分线，到19世纪中叶数学家才开始考虑三等分线，因为以前只有可作图的元素和图形才在欧几里得几何学中合法，可作图性保证了存在性，后来关于确立存在性的观念改变了。

三等分线交于等边三角形顶点

继17,18世纪George Mohr(1640-1697)和Lorenzo Mascheroni(1750-1800)指出尺规作图可以只用圆规，人们也为减少尺规使用作出努力。1822年彭赛列证明能用尺规作图的元素（除了圆弧）都能只用直尺画出，只需事先给一个固定圆和圆心。施泰纳以更优美的形式重新证明了该结果。

当然解析几何还是有很多人在用，比如热尔岗给出了许多几何定理的解析证明，发表在他创办的杂志《数学纪事》上。