LC 2865. 美丽塔 I

2865. 美丽塔 I

难度 : 中等

题目大意

给你一个长度为 n 下标从 0 开始的整数数组 maxHeights 。

你的任务是在坐标轴上建 n 座塔。第 i 座塔的下标为 i ，高度为 heights[i] 。

如果以下条件满足，我们称这些塔是 美丽 的：

1. 1 <= heights[i] <= maxHeights[i]
2. heights 是一个 山脉 数组。

如果存在下标 i 满足以下条件，那么我们称数组 heights 是一个 山脉 数组：

• 对于所有 0 < j <= i ，都有 heights[j - 1] <= heights[j]
• 对于所有 i <= k < n - 1 ，都有 heights[k + 1] <= heights[k]

请你返回满足 美丽塔 要求的方案中，高度和的最大值 。

提示：

• 1 <= n == maxHeights <= 10^3
• 1 <= maxHeights[i] <= 10^9

示例 1：

输入：maxHeights = [5,3,4,1,1]
输出：13
解释：和最大的美丽塔方案为 heights = [5,3,3,1,1] ，这是一个美丽塔方案，因为：
- 1 <= heights[i] <= maxHeights[i]  
- heights 是个山脉数组，峰值在 i = 0 处。
13 是所有美丽塔方案中的最大高度和。

分析

根据数据范围可以知道时间复杂度要控制在$O(n^{2}logn)$，首先我们要确定这个山脉的中心，也就是说我们可以枚举这个中心，然后去构造这个山脉数组，至于怎么构造，因为确定了中心，所以我们可以枚举左右两边，以左边为例，我们要所得的山脉的高度之和最大，所以我们要尽可能取到最大的山脉高度，也就是说，如果当前山脉的最大高度小于等于右边山脉的高度，我们就可以直接取最大的高度，如果比右边的高度高，那么就只能取和右边的山脉相同的高度，右边是同理的，注意数据范围可能爆int，所以注意开long long

暴力枚举

class Solution {
public:
    using LL = long long;
    long long maximumSumOfHeights(vector<int>& maxHeights) {
        int n = maxHeights.size();
        LL res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i ++)
        {
            LL sum = maxHeights[i];
            LL t = maxHeights[i];// 用t表示当前山脉的限制高度
            for (int j = i - 1; j >= 0; j --)
                if (maxHeights[j] <= t) sum += maxHeights[j], t = maxHeights[j];
                else sum += t;
            t = maxHeights[i];
            for (int j = i + 1; j < n; j ++)
                if (maxHeights[j] <= t) sum += maxHeights[j], t = maxHeights[j];
                else sum += t;
            res = max(res, sum);
        }
        return res;
    }
};

时间复杂度 $O(n^2)$

分析

我们确定山峰之后，分析左边，从山峰往左看，根据上面的暴力做法的提示，我们发现，假设当前的山峰maxHeight是x，那么如果左边的山脉是高于x的，左边的山脉就会受到限制，那么这个限制什么时候解除呢，碰到一个比x还要小的山脉，而且是第一个，那么我们就可以联想到单调栈的思想，我们可以存下标，我们首先找到受x限制的那一段，终点下标就是栈顶假设是t，那么这一段全部都是x高度，我们定义l[i]表示当前位置为山峰，从i往左看非递增的山脉的高度值和，假设l[i] = l[t] + (i - t) * x（下标从1开始），考虑边界情况，如果左边没有比x小的，那么左边都要受到限制，所以我们可以将栈底始终放一个下标0，这样就方便处理，至于右边的情况，是一样的，我们可以将数组反转一下，然后就是相同的处理

单调栈

class Solution {
public:
    using LL = long long;
    long long maximumSumOfHeights(vector<int>& maxHeights) {
        int n = maxHeights.size();
        vector<LL> l(n + 1), r(n + 1); // 下标从1开始方便处理边界
        auto f = [&](vector<LL>& g) {
            stack<LL> stk;
            stk.push(0); // 方便处理边界
            for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
                while (stk.size() > 1 && maxHeights[stk.top() - 1] >= maxHeights[i - 1]) stk.pop();
                g[i] = g[stk.top()] + (LL)(i - stk.top()) * maxHeights[i - 1];
                stk.push(i);
            }
        };
        f(l), reverse(maxHeights.begin(), maxHeights.end()), f(r);
        LL res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            res = max(res, l[i] + r[n - i + 1] - maxHeights[n - i]); // 注意此时数组已经反转了，所以下标要注意
        }
        return res;
    }
};

时间复杂度：$O(n)$

结束了