公开密钥加密之RSA算法【概念+计算+代码实现】

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前言

安全算法：公开密钥加密之RSA算法
公开密钥加密（又称“非对称加密”）是加密和解密使用不同密钥的一种加密方法。包括公开密钥和私有密钥（成对生成的，网上有工具网站）。
公开密钥（public key，后面简称P）：加密用的密钥
私有密钥（secret key，后面简称S）：解密用的密钥

背景

     RSA公钥加密算法是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。1987年首次公布，当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。
     RSA是目前最有影响力的公钥加密算法，它能够抵抗到目前为止已知的绝大多数密码攻击，已被ISO推荐为公钥数据加密标准。
今天只有短的RSA钥匙才可能被强力方式解破。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。只要其钥匙的长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。但在分布式计算和量子计算机理论日趋成熟的今天，RSA加密安全性受到了挑战。
RSA算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大质数相乘十分容易，但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。
RSA算法是现今使用最广泛的公钥密码算法，也是号称地球上最安全的加密算法。在了解RSA算法之前，先熟悉下几个术语
根据密钥的使用方法，可以将密码分为对称密码和公钥密码
对称密码：加密和解密使用同一种密钥的方式
公钥密码：加密和解密使用不同的密码的方式，因此公钥密码通常也称为非对称密码。

一、RSA算法描述

1️⃣密钥计算方法

1.选择两个大素数p和q(典型值为1024位)
2.计算n=p×q和z=(p-1)×(q-1)
// n表示欧拉函数
3.选择一个与z互质的数，令其为d
4.找到一个 e 使满足exd= 1 (mod z)
5.公开密钥为(e，m)，私有密钥为(d，m)

2️⃣加密方法

1.将明文看成比特串，将明文划分成k位的块 P 即可，这里k是满足 2*k 2.对每个数据块 P，计算 C= P^(mod n),C 即为P的密文。
加密
$$C=P^e(modn)$$

3️⃣解密方法

对每个密文块 C，计算 P=C^d(mod n),P即为明文
解密：$$P=c^d(modn)$$

二、算法举例

1️⃣密钥计算

代码如下（示例）：1.假设需要加密的明文信息为m=85，选择：e=7，p=11，q=13，说明使用RSA算法的加密和解密(计算密文并还原)

n=p*q=11*13=143
z=（p-1）*（q-1）=10*12=120

e*d=1(mod z)  
7 * d( mod 120)=1  -------d=103

2️⃣加密运算

（示例）：

公钥:(e,n)=(7,143)
密文c=p^e (mod n)=123

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3️⃣加密运算

代码如下（示例）：

密钥:(d,n)=(103,143)
明文：P=c^d (mod n)=85

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三、算法实现

1️⃣RSA算法流程图

2️⃣代码实现

代码如下（示例）：上题中的数据
编译软件：dev c++

#include
#include
 
/* 函数申明 */
int long_n(int n);
int shuru(char *arr, int k, char *wei, int is_first);
void jiami(char *arr, int k, int e, int n);
 
/* 输入函数，记录从键盘输入的明文*/
int shuru(char *arr, int k, char *wei, int is_first)
{
	int i;
	char ch;
	/*判断是否为第一分组的输入，如果是则获取输入的字符，否则就将上一分组最后获取的字符作为这一分组的第一个字符*/
	if (is_first == 1)    
		ch = getchar();
	else
		ch = *wei;
	for (i = 0; (i < k) && (ch != '\n');i++)  //获取字符直到获取到回车符为止
	{
		arr[i] = ch;
		ch = getchar();
	}
	*wei = ch;  //最后获取到的字符准备作为下一分组的第一个字符
	for (i = i; i < k; i++)
		arr[i] = 'a';  //输入不够一组个数的整数倍则补'a'(即为补零)
	if (ch == '\n')  //接收到回车符返回0，否则为1
		return 0;
	else
		return 1;
}
 
/*加密函数*/
void jiami(char *arr, int k, int e, int n)
{
	int m = 0,c=1, i, j,t=0, shu,temp,num=0;
	int *array;
	/*Mi赋值过程*/
	for (i = 0; i < k; i++)
	{
		temp = 1;
		for (j = 0; j < (k-i-1)*2; j++)
			temp = temp * 10;
		shu = (int)arr[i] - 97;
		m = m + temp * shu;
	}
	temp = e;
	/*获取e的二进制表达形式的位数*/
	do{
		temp = temp / 2;
		num++;
	} while (temp != 0);
	array = (int *)malloc(sizeof(int)*k);   //申请动态数组
	temp = e;
	/*动态数组存储e的二进制表达形式*/
	for (i = 0; i < num; i++)
	{
		array[i] = temp % 2;
		temp = temp / 2;
	}
	/*避免出现天文数字的算法，详情见上文文字说明*/
	for (i = num - 1; i >= 0; i--)
	{
		t = t * 2;
		temp = c*c;
		if (temp > n)
		{
			for (j = 0; temp - n*j >= 0; j++);
			j--;
			c = temp - n*j;
		}
		else
			c = temp;
		if (array[i] == 1)
		{
			t = t + 1;
			temp = c*m;
			if (temp > n)
			{
				for (j = 0; temp - n*j >= 0; j++);
				j--;
				c = temp - n*j;
			}
			else
				c = temp;		
		}
		
		e = e / 2;
	}
	temp = c;
	i = 0;
	/*c的位数小于分组长度则在前补零*/
	do{
		temp = temp / 10;
		i++;
	} while (temp != 0);
	for (i; i < num; i++)
		printf("0");
	printf("%d", c);
}
 
/*获取分组的长度*/
int long_n(int n)
{
	int temp,i,j,k,shi,comp=0;
	temp = n;
	/*获取n的位数*/
	for (i = 1; temp / 10 != 0; i++)
	{
		temp = temp / 10;
	}
	temp = i;
	/*若n的位数为基数*/
	if (i % 2 != 0)
	{
		i = i - 1;
		return i;
	}
	/*若位数为偶数*/
	else
	{
		for (j = 0; j < i/2; j++)
		{
			shi = 1;
			for (k = 0; k < temp - 2; k++)
				shi = shi * 10;
			comp = comp + shi * 25;
			temp = temp - 2;
		}
		if (comp <= n)
			return i;
		else
		{
			i = i - 2;
			return i;
		}
	}
}
 
/*主函数*/
int main()
{
	int p, q, e, d, n, fai_n, k, i,is_first=1;
	char ch,*arr,wei='a';
	printf("请输入p、q、e值，用空格间隔开\n");
	scanf("%d%d%d", &p, &q, &e);  //从键盘获取p、q、e值
	n = p*q;  
	fai_n = (p-1)*(q-1);   //Φ(n)
	for (k = 0; (k*n + 1) % e != 0; k++);
	if ((k*n + 1) % e == 0)
		d = (k*n + 1) / e;  //d * e ≡ 1 (mod Φ(n))
	k = long_n(n);
	k = k / 2;  //分组的长度
	ch = getchar(); //缓冲回车符
	arr = (char *)malloc(sizeof(char)*k);  //申请动态数组
	printf("请输入明文\n");
    while (1)
	{
		i=shuru(arr,k,&wei,is_first);  //调用输入字符的函数，接收到回车符返回0，否则为1
		is_first = 0;  //第一分组录入结束设为0
		jiami(arr,k,e,n);  //调用加密函数
		if (i == 0)  //接收到返回值为0跳出循环
			break;
	}
	printf("\n");
	return 0;
}

运行结果如下（示例）：

总结

以上就是今天笔记，本文仅仅简单介绍了RSA 概念➕计算题➕代码实现