模型之气体的行为

气体的行为

“探索气体动理论：分子运动与温度的统计关系”

气体动理论由丹尼尔•伯努利在1738年提出，后来又由麦克斯韦、玻尔兹曼等人在19世纪后半叶推进。根据这种理论，气体是由运动着的分子组成的，气体的许多性质——如温度和压强，都是这些分子的统计属性。譬如，温度就对应着分子的平均动能。

“探索方盒子中气体的模型：点运动与规则选择”

有了这样的想法之后，让我们设想一种模型来描述方盒子中的气体。这个盒子当然应该用一个立方体来表示（意即数学的而非物理的）。既然分子是非常小的，那么用立方体中的点来表示也就很自然了。这些点应当是运动的，所以我们必须确定控制它们运动的规则。此时，我们需要作出一些选择。

“基于随机选择的N分子模型：探索气体分子间的运动规律”

如果盒中只有一个分子，那么规则可以很明显：分子以恒定速度运动，撞到盒子壁面时就反弹出去。要将这种模型推广到包含N个分子的情形（N是个较大的数），最简单的办法就是假设分子都遵从这样的运动规则，分子之间绝对没有相互作用。为了启动这样的N分子模型，我们要选择分子（或者说，表示它们的那些点）的初始位置及初始速度。随机选择是一种好办法，因为我们可以预期，在任意时刻，真实气体中的分子都在空间中弥散着，运动方向也各式各样。

“基于相同速度的随机位置和方向选择的N分子模型：探索气体分子间的运动行为”

要说清在立方体中随机取一个点并不困难，随机的运动方向也不复杂，但如何随机地选择速度就有些含混了，因为速度可以取从0到无穷大的任意值。为了避免这个困难，我们可以作一个从物理角度看似不太可信的假设，让所有分子的速度都相同，仅仅让初始位置和方向能够随机选取。图3就表示了这个模型的一个二维情形。

“基于随机速度的N分子模型解释气体行为：压强、温度与体积的关系”

比方说，利用这个模型，我们就不可能理解，为什么当温度足够低时气体会液化：当你把模型中的各点运动速度降低，得到的还是相同的模型，无非跑得慢一些而已。不过这个模型还是能够解释真实气体的许多行为。例如，想象盒子被慢慢压缩的情形。分子仍然会继续以相同速度运动，但由于盒子变小，分子撞击壁面更加频繁，可供撞击的壁面面积也变小了。由于这两个缘故，单位面积的壁面每秒钟被撞击次数就增多了。这些撞击正是气体压强的来源，于是我们可以总结出，气体体积减小时，气体压强很可能增大一一正如实际观测所证实的那样。类似的论证还可以解释，为什么气体温度升高而体积不变时，压强会增大。要推算出压强、温度与体积之间的数值关系也并不困难。

“麦克斯韦的理论与分子速度的随机性：探索气体分子碰撞与速度分布”

上述模型大致上就是伯努利所提出的模型。麦克斯韦的成就之一就是发现了一个优美的理论，来解决如何更逼真地选择初始速度的问题。为了理解这一点，让我们放弃分子间没有相互作用的假设。作为替代，我们假定分子会时不时地相互碰撞，就像台球一样。碰撞之后，它们就以另外的速度、向另外的方向，在遵守能量守恒和动量守恒定律的前提下随机弹开。当然，既然我们用没有体积的点来表示分子，那么就很难看出它们要如何碰撞。不过，这个麻烦在理论中恰可以作为一个非正式的论据，说明分子运动速度及方向具有某种随机性。麦克斯韦就这种随机性的本质作了两个非常合理的假设：其一，分子运动的随机性不随时间而改变；其二，这个随机性在不同方向上没有区别。大体来讲，第二个假设意味着，选取$d_1$和$d_2$两个方向及某个速度s，那么粒子以速度s沿着$d_1$方向运动的概率和以速度s沿着$d_2$方向运动的概率是相同的。不可思议的是，这样的两个假设就足以恰好决定分子运动速度的分布形式，即意味着，如果我们想要随机选取速度，就只有一种自然的方式。（它们应当服从正态分布。这种分布产生了著名的“钟形曲线”。这种曲线在各种各样的场合下经常出现，既出现在数学中也出现在实验中。）

“修正分子模型中的相互作用：复杂性与未解数学问题的挑战”

一旦选定了速度，我们就可以再次忘掉分子间的相互作用。结果表明，这种作了一点改进的模型依然存在着原始模型中的许多瑕疵。为了进一步修正，我们只能再把分子间的相互作用考虑进来。但是结果发现，即使是非常简单的相互作用粒子模型，其行为也极其复杂，会引发极为难解，事实上多数都未能解决的数学问题。

总结

气体动理论探索了气体行为的本质和统计属性，从分子运动、温度到压强和体积的关系进行了解释。伯努利、麦克斯韦等科学家提出了基于点运动和随机性选择的模型来描述气体分子的行为。这些模型通过考虑分子间相互作用、碰撞和速度分布等因素，逐步修正了原始模型中的瑕疵。然而，即使相互作用模型也带来了新的复杂性和未解数学问题。麦克斯韦的理论突出了分子速度的随机性和服从正态分布的特性，解释了分子速度和碰撞对气体行为的影响。尽管气体模型仍存在挑战和未解问题，但这些理论和模型为我们理解气体行为提供了重要的基础，并促进了进一步研究。