鸡兔同笼问题的常用解法及有解条件

题目来源：《算法竞赛入门经典》例题1-4　鸡兔同笼

【题目描述】

已知鸡和兔的总数量为n，总腿数为m。输入n和m，依次输出鸡的数目和兔的数目。如果无解，则输出No answer。

【样例输入】

14 32

【样例输出】

12 2

【样例输入】

10 16

【样例输出】

No answer

一、求解方法

求解鸡兔同笼问题，有很多种方法，这里介绍常用的3种方法：

1、假设法。这是最常用的方法。假设全是腿少（或腿多）的动物，这里假设全是鸡，那么腿数应该是2n，实际腿数为m，实际比假设腿数多了m-2n只。每将一只鸡替换为兔会增加2条腿，所以用（m-2n）/2就是兔的只数。

这样用字母可能比较抽象，可以用具体的数再说明一下。如假设鸡和兔的数量为8只，有22条腿。假设全是鸡，8只鸡的腿数为2×8=16只，实际腿数为22条，实际比假设腿数多了22-16=6条。如图所示，每将一只鸡替换为兔会增加2条腿，故增加了6条腿应是替换了6/2=3只，即兔子有3只，鸡有8-3=5只。

2、吹哨砍脚法。这是最好理解的方法。假设长官每吹一次哨，就要砍掉每只动物一只脚，那么连吹两次哨，鸡的脚就被砍完了，这时还剩m-2n只脚，而这些脚全部是兔子的，每只兔子还剩2只脚，所以兔子有（m-2n）/2只。

3、方程法。设鸡有x只，兔有y只，则x＋y＝n，2x＋4y＝m，联立解得x＝（4n－m）/2，y＝n－x=(m-2n)/2。

二、有解条件

鸡和兔都是动物，所以题目有解的条件就是：鸡和兔的只数都是非负整数。

即：x>=0 且 y>=0 且 4n-m%2==0

注：没有必要再判断(m-2n)/%==0，因为如果x是整数，y必然为整数，只要判断它们中的一个为整数即可。

因为4n/2必然是整数，所以4n-m%2==0可简化为m%2=0。

解得：x>=0 且 y>=0 且 m%2==0

m%2==0的现实意义其实就是：鸡和兔的总腿数要为偶数。显然这是符合常识的。但是注意这个条件是推出来的，不是具有普遍意义的条件，因为动物的腿数可能是奇数，这时这个结论就不适用了。具有普遍意义的条件还是两种动物的只数都是非负整数。

也就是说，只要腿的总数是偶数，就能保证最后得出的鸡和兔的只数都是整数。

三、问题通用化

把这个问题再通用化，假设A、B两种动物，A、B总数量为n，总腿数为m，A有a条腿，B有b条腿。设A的数数为x，B的数量为y。

解得：x = (bn-m)/(b-a)，y = (m-an)/(b-a)

如果我们假设b>a，那么这个答案就可以直接用假设法解释，b-a就是每只腿多动物比每只腿少动物多出的腿数。bn就是假设全部是腿多的动物的腿数，m是实际腿数，bn-m就是在假设全部是腿多动物的基础上，因为将其中的x只替换为腿少的动物而减少的腿数。同理，m-an就是总腿数减假设全是腿少的动物时的腿数。

本题求解不难，关键是认清有解的条件为：鸡和兔的只数都是非负整数。

四、C语言源代码

#include

int main()

{

int a, b, n, m;

scanf("%d%d", &n, &m);

a = (4*n-m)/2;

b = n-a;

if(m % 2 == 1 || a < 0 || b < 0)

printf("No answer\n");

else

printf("%d %d\n", a, b);

return 0;

}