单调性的应用

1单调性

• 应用场景：常应用于双指针的进一步优化问题中
• 含义：针对指针 $i1>i$一定有 $j1>=j$或者$j1<=j$
• 这样我们就可以利用该性质对算法进行进一步优化，避免一些不必要的遍历

2. leetcode题目举例

思路分析

假设删除的是 $arr[i+1]\sim arr[j-1]$则需要满足以下条件

• $arr[0]\sim arr[i]$非递减。
• $arr[j]\sim arr[n-1]$非递减
• $arr[i]\le arr[j]$
  如果我们对所有满足条件的 $i$ 和 $j$进行一次二次遍历，则时间复杂度为O（lr）其中 l 为左半部分长度，r为右半部分长度
• 我们尝试去寻找$i$和$j$的规律
• 对于 左半部分的 $x(左半部分非递减段)$ 我们假设 最小的 符合条件的 $j$为$y$
• 如果有 $x1>x$,则至少有 $y1>=y$（优化的重要性质）

证明(反证法)

• 如果$y1<y$
  则又因为
• $x1>x$
• $arr[y1]>=arr[x1]$,
• $arr[x1]>=arr[x]$
  所以$arr[y1]>=arr[x]$ 且，$x,y1，y$ 位于左右部分的非递减段，则 $y1$ 为 $x$ 对应的最小答案，与先前定义不符

举例说明

我们以题中示例举例 （这里我们直接时候对应的值，括号中为下标，方便理解）

• [1,2,3,10,4,2,3,5]
• 1(0) 对应的最小的 j 为 为2（5）
• 我们遍历 2（1）对应的 j 最小为 2(5) ,不可能在2（5）的前面寻找
• 这就是我们所证明的性质的意思

class Solution {
    //单调性
    //对于任意的 i1>i
    //其对应的j 一定有 j1>=j
    public int findLengthOfShortestSubarray(int[] nums) {
        int n=nums.length;
        int j=n-1;
        //寻找最靠左的j
        while(j>=1 && nums[j]>=nums[j-1])j--;
        //J 为0说明本身就是非递减，无需删除
        if(j==0)return 0;
        //最长的删除长度，前半部分全部删除
        int res=j;
        //枚举 i
        for(int i=0;i<n;){
        //寻找最小的符合条件的 j
            while(j<n && nums[i]>nums[j])j++;
            res=Math.min(res,j-i-1);
            //如果 i 还在非递减段则枚举下一个，否则，停止枚举
            if(i!=n-1 &&nums[i+1]>=nums[i])i++;
            else break;
        }
        return res;

    }
}