[Machine Learning] 10 支持向量机(Support Vector Machines)

10 Support Vector Machines(支持向量机)

10.1 Optimization Objective(优化目标)

在监督学习中，许多学习算法的性能都非常类似，因此，重要的不是该选择使用学习算法 A 还是学习算法 B，而是应用这些算法时，所创建的大量数据表现情况，这又通常依赖于你的水平。比如：为学习算法所设计的特征、正则化参数等。在学习复杂的非线性方程时与逻辑回归和神经网络相比，支持向量机(Support Vector Machine) 提供了一种更为清晰，更加强大的方式，被广泛的应用于工业界和学术界。

为了描述支持向量机，将开始展示如何通过修改逻辑回归得到本质上的支持向量机。

首先逻辑回归是怎么做的：如果有一个 = 1的样本，不管是在训练集中或是在测试集中，又或者在交叉验证集中，总之是 = 1，现在则希望ℎ() 趋近 1， 应当远大于 0。相反地，如果有另一个样本，即 = 0，希望假设函数的输出值趋近于 0，则对应的 应远小于 0。

如果进一步观察逻辑回归的代价函数，会发现每个样本 (, )都会为总代价函数，增加这里的一项，
因此，对于总代价函数通常是对所有的训练样本求和，并且还有一个1/项，但是，在逻辑回归中，这一项就只表示一个训练样本所对应的表达式。如果将完整定义的假设函数代入这里，则每一个训练样本都影响这一项。现在，先忽略 1/ 这一项，先考虑两种情况：一种是等于 1 的情况；另一种是 等于 0 的情况。

在第一种情况中，假设 = 1 ，此时在目标函数中只需有第一项起作用，因为 = 1时，(1 − )项将等于 0。因此，当在 = 1 的样本中时，得到
这样一项。

用 表示 ，即： = 。画出关于 的函数，得到左下角的这条曲线，可以看到，当 增大时，对应的值会变的非常小。对整个代价函数而言，影响也非常小。这也就解释了，为什么逻辑回归在观察到正样本 = 1时，试图将 设置得非常大。因为，在代价函数中的这一项会变得非常小。

现在开始建立支持向量机，从这个代价函数开始，也就是
一点一点修改，取这里的 = 1点，先画出将要用的代价函数。新的代价函数（紫红色）将会水平的从z=1到右边，然后再在左边画一条同逻辑回归非常相似的直线。那么，到了这里已经非常接近逻辑回归中使用的代价函数了。只是这里是由两条线段组成，即位于右边的水平部分和位于左边的直线部分，先不考虑左边直线部分的斜率，这并不是很重要。

这同逻辑回归中类似的事情，并且为支持向量机，带来计算上的优势。例如，更容易计算股票交易的问题等等。

当 = 0时，此时代价函数只留下了第二项。

并且，如果将这一项作为的函数，那么，就会得到横轴。同理得到如下图像。

如果用一个新的代价函数来代替，即这条从 0 点开始的水平直线，然后是一条斜线，像上图。那么，现在给这两个方程命名，左边的函数，称之为cos1()，同时，右边函数称为cos0()。这里的下标是指在代价函数中，对应的 = 1 和 = 0 的情况，拥有了这些定义后，现在就开始构建支持向量机。