树的超详细解读

树的逻辑结构表示方法

树形表示法

文氏图表示法

凹入表示法

括号表示法
A(B(E,F)),C(G(J)),D(H,I(K,L,M)))

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树的基本术语

结点的度：树中某个结点的子树的个数

树的度：树中各个结点中，最大值就是度，通常我们将度为m的树，称为m次树

举个例子

此为 一颗 3次树

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分支结点：度不为零的结点
叶子结点：度为零的结点

举个例子

此处，D,I,J,G,H,F 都为叶子结点

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路径：一条路，长度等于通过结点数减1

举个例子
例如，A -J

路径为：A - B - E - J 长度为 3

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• 孩子结点：每个结点的后继结点（或子女结点）
• 双亲结点：相应的此结点作为孩子结点的双亲结点

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• 结点的层次和树的高度：树中的每个结点都处在一定的层次上，根节点在第一层，然后以此类推。最大的层次称为树的高度（或树的深度）

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• 有序树 无序树：有序树，按照一定顺序排列的，且相对次序不可随意变换。无序树，则反之。

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• 森林：互不相交的树的集合。可以这么说，一个简单的树，把根节点去掉过后，就是森林了
  

树的性质

性质1：树中的结点数等于所有结点的度之和加1
（这里的证明，以相对简单来解释）
证明
举个例子

在此，我在所有结点上都标上了度，你会发现，除了叶子结点，也就是度为零的结点，其他结点加起来，就是结点数，但是你会发现根节点并没有算进去，所以这里我们要加1

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性质2：度为m的树中第 i 层上最多有 m ^i-1 个结点（i >= 1)

证明：数学归纳法
对于第一层，将i = 1代进去，m^i-1 = m^1-1 = 1,显然结论成立
对于第 i - 1 层，将 i = i - 1代进去，第 i - 1层上最多有m^i-2
由树的度定义知，度为最大的结点数，那么对于第 i 层来说，第 i - 1层上，每个结点都有m个结点，那么结点数为第 i - 1 层上的m倍。
对于第 i 层，m^i-2 * m = m^i-1,故在第i层上，也适用这个公式。

举个例子
我们可以用另一种想法来证明这个性质
假设一个度为3的树

我们假设每个结点都是最大结点数，你会发现，
第一层是3⁰
第二层是3¹
第三层是3²
第四层是3³
不难发现其中的规律就是公式 m^i-1

推广：如果说当一颗树某一层满足以上的规律，称该层是满的，那么一颗树全部都满足，则称这颗树为满m次树 ，以刚刚这个例子来看，便应为满3次树

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性质3：高度为h的m次树最多有 **$\frac{m^h-1}{m-1}$**个结点
证明：
由性质2，可以推出，如果我们要球的最多的结点数，那么每一个层都应该是最大结点数
计算如下：m⁰ + m¹ + m² +……+m^h-1 = $\frac{m^h-1}{m-1}$

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性质4：具有n个结点的m次树的最小高度为 >= $lo{g}_m(n(m-1)+1)$整数

证明，设具有n个结点的最小高度为 h，这样的树中前h - 1层都是满的，最后一层的结点数，可能满，可能也不满，但至少有一个结点

（我亲手写了证明）

其实，证明下来，还是用到性质3，相当徐性质3的拓展吧。

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树的基本运算

树的运算主要分为三类

• 查找满足特定关系的结点，比如查当前结点的双亲结点等
• 插入或删除某个结点
• 遍历树中的每个结点

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树的遍历也分为三类

• 先根遍历
  **过程：**先访问根节点，按照从左到右的次序遍历根节点每一颗子树
  举个例子
  

• 后根遍历：从最左边的最下面的结点开始
  举个例子
  
  也就是先把子节点都遍历完再去遍历结点

• 层次遍历
  过程：从第一层开始， 从左到右遍历
  举个例子‘
  

树的存储结构

树的存储结构有很多，这里介绍三种

• 双亲存储结构

顺序存储结构，除了存储值，还存储其双亲的位置

举个例子

看图我们大概就能明白，就是有一个伪指针存放了双亲结点的位置

代码实现

class PTree< E >
{
	E data; //存放结点的值
	int parent; //存放双亲的位置
}

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• 孩子链存储结构（此不谈）

• 兄弟链存储结构（简略）
  此结构，统共每个结点有三个域，一个数据元素域，一个指向该节点的第一个孩子结点的指针域，一个指向该结点的下一个兄弟节点的指针域，每一个结点有固定的两个指针域

举个例子

从这个图上我们就可以很快懂得这种结构

二叉树

接下来要学习的便是二叉树，这将在我另一篇文章中呈现