《动手学深度学习(PyTorch版)》笔记3.4

Chapter3 Linear Neural Networks

3.4 Softmax Regression

3.4.1 Classification Problems

一般的分类问题并不与类别之间的自然顺序有关，统计学家发明了一种表示分类数据的简单方法：独热编码（one-hot encoding）。独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。在我们的例子中，标签$y$将是一个三维向量，其中$(1,0,0)$对应于“猫”、$(0,1,0)$对应于“鸡”、$(0,0,1)$对应于“狗”：
$$y\in \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.$$

3.4.2 Network Architecture

为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数（affine function）。每个输出对应于它自己的仿射函数。在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别，我们将需要12个标量来表示权重（带下标的$w$），3个标量来表示偏置（带下标的$b$）。下面我们为每个输入计算三个未规范化的预测（logit）：$o_1$、$o_2$和$o_3$。

$$\begin{array}{rl}{o}_1& =x_1{w}_{11}+x_2{w}_{12}+x_3{w}_{13}+x_4{w}_{14}+b_1,\\ o_2& =x_1{w}_{21}+x_2{w}_{22}+x_3{w}_{23}+x_4{w}_{24}+b_2,\\ o_3& =x_1{w}_{31}+x_2{w}_{32}+x_3{w}_{33}+x_4{w}_{34}+b_3.\end{array}$$
上式通过向量形式表达为$\mathbf{o}=\mathbf{Wx}+\mathbf{b}$。
我们可以用神经网络图来描述这个计算过程，如下图所示。与线性回归一样，softmax回归也是一个单层神经网络。由于计算每个输出$o_1$、$o_2$和$o_3$取决于所有输入$x_1$、$x_2$、$x_3$和$x_4$，所以softmax回归的输出层也是全连接层。

3.4.3 Parameterization Cost of Fully-Connected Layers(此段书上内容较少，有待详细补充)

在深度学习中，全连接层无处不在。然而，全连接层是“完全”连接的，可能有很多可学习的参数。具体来说，对于任何具有$d$个输入和$q$个输出的全连接层，参数开销(在传递函数或方法参数时引入的额外开销)为$\mathcal{O}(dq)$，这个数字在实践中可能高得令人望而却步。幸运的是，将$d$个输入转换为$q$个输出的成本可以减少到$\mathcal{O}(\frac{dq}{n})$，其中超参数$n$可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性。

3.4.4 Softmax Operation

现在我们将优化参数，以最大化预测结果符合实际情况的概率。为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。我们希望模型的输出${\hat{y}}_j$可以视为属于类$j$的概率，然后选择具有最大输出值的类别${\mathrm{argmax}}_j{y}_j$作为我们的预测。例如，如果${\hat{y}}_1$、${\hat{y}}_2$和${\hat{y}}_3$分别为0.1、0.8和0.1，那么我们预测的类别是2，在我们的例子中代表“鸡”。但我们不能将未规范化的预测$o$直接视作我们感兴趣的输出，因为将线性层的输出直接视为概率时存在一些问题：一方面，我们没有限制这些输出数字的总和为1；另一方面，根据输入的不同，它们可以为负值。

要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。此外，我们需要一个训练的目标函数，来激励模型精准地估计概率。例如，在分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本是刚好有一半实际上属于预测的类别。这个属性叫做校准（calibration）。

社会科学家邓肯·卢斯于1959年在选择模型（choice model）的理论基础上发明的softmax函数正是这样做的：softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持可导的性质。为了完成这一目标，我们首先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。为了确保最终输出的概率值总和为1，我们再让每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：

$$\hat{\mathbf{y}}=\mathrm{softmax}(\mathbf{o})\text{其中}{\hat{y}}_j=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_k\exp (o_k)}$$

这里，对于所有的$j$总有$0\le {\hat{y}}_j\le 1$。因此，$\hat{\mathbf{y}}$可以视为一个正确的概率分布。softmax运算不会改变未规范化的预测$\mathbf{o}$之间的大小次序，只会确定分配给每个类别的概率。因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。

$$\underset{j}{\mathrm{argmax}}{\hat{y}}_j=\underset{j}{\mathrm{argmax}}{o}_j.$$

尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。因此，softmax回归是一个线性模型。

3.4.5 Softmax Vectorization

为了提高计算效率并且充分利用GPU，我们通常会对小批量样本的数据执行矢量计算。假设我们读取了一个批量的样本$\mathbf{X}$，其中特征维度（输入数量）为$d$，批量大小为$n$。此外，假设我们在输出中有$q$个类别。那么小批量样本的特征为$\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$，权重为$\mathbf{W}\in {\mathbb{R}}^{d\times q}$，偏置为$\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^{1\times q}$。softmax回归的矢量计算表达式为：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{O}& =\mathbf{XW}+\mathbf{b},\\ \hat{\mathbf{Y}}& =\mathrm{softmax}(\mathbf{O}).\end{array}$$

相对于一次处理一个样本，小批量样本的矢量化加快了$\mathbf{X}和\mathbf{W}$的矩阵-向量乘法。由于$\mathbf{X}$中的每一行代表一个数据样本，那么softmax运算可以按行（rowwise）执行：对于$\mathbf{O}$的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。在上式中，$\mathbf{XW}+\mathbf{b}$的求和会使用广播机制，小批量的未规范化预测$\mathbf{O}$和输出概率$\hat{\mathbf{Y}}$都是形状为$n\times q$的矩阵。

3.4.6 Loss Function

接下来，我们将使用最大似然估计来度量预测的效果,这与在线性回归中的方法相同。

3.4.6.1 Log Likelihood

softmax函数给出了一个向量$\hat{\mathbf{y}}$，我们可以将其视为“对给定任意输入$\mathbf{x}$的每个类的条件概率”。例如，${\hat{y}}_1$=$P(y=\text{猫}\mid \mathbf{x})$。假设整个数据集$\{\mathbf{X},\mathbf{Y}\}$具有$n$个样本，其中索引$i$的样本由特征向量${\mathbf{x}}^{(i)}$和独热标签向量${\mathbf{y}}^{(i)}$组成。我们可以将估计值与实际值进行比较：

$$P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})=\prod _{i=1}^{n}P({\mathbf{y}}^{(i)}\mid {\mathbf{x}}^{(i)}).$$

根据最大似然估计，我们最大化$P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})$，相当于最小化负对数似然：

$$-\log P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})=\sum _{i=1}^n-\log P({\mathbf{y}}^{(i)}\mid {\mathbf{x}}^{(i)})=\sum _{i=1}^{n}l({\mathbf{y}}^{(i)},{\hat{\mathbf{y}}}^{(i)})\text{(对数似然损失等于交叉熵损失的总和,后续补充)}$$

其中，对于任何标签$\mathbf{y}$和模型预测$\hat{\mathbf{y}}$，损失函数为：

$$l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=-\sum _{j=1}^q{y}_j\log {\hat{y}}_j.$$

上式中的损失函数通常被称为交叉熵损失（cross-entropy loss）。由于$\mathbf{y}$是一个长度为$q$的独热编码向量，所以除了一个项以外的所有项$j$都消失了。由于所有${\hat{y}}_j$都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于$0$。因此，如果正确地预测实际标签，即如果实际标签$P(\mathbf{y}\mid \mathbf{x})=1$，则损失函数不能进一步最小化。注意，这往往是不可能的。例如，数据集中可能存在标签噪声（比如某些样本可能被误标），或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。
由对数似然损失等于交叉熵损失的总和(后续补充),有
$$\sum _{i=1}^n-\log P({\mathbf{y}}^{(i)}\mid {\mathbf{x}}^{(i)})=\sum _{i=1}^{n}l({\mathbf{y}}^{(i)},{\hat{\mathbf{y}}}^{(i)})$$
现在让我们考虑整个结果分布的情况，即观察到的不仅仅是一个结果。对于标签$\mathbf{y}$，我们可以使用与以前相同的表示形式。唯一的区别是，我们现在用一个概率向量表示，如$(0.1,0.2,0.7)$，而不是仅包含二元项的向量$(0,0,1)$。我们使用交叉熵损失来定义所有标签分布的预期损失值，它是分类问题最常用的损失之一。

3.4.6.2 Softmax and Derivatives

由于softmax和相关的损失函数很常见，因此我们需要更好地理解它的计算方式。利用softmax的定义，我们得到：

$$\begin{array}{rl}l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})& =-\sum _{j=1}^q{y}_j\log \frac{\exp (o_j)}{{\sum }_{k=1}^q\exp (o_k)}\\ & =\sum _{j=1}^q{y}_j\log \sum _{k=1}^q\exp (o_k)-\sum _{j=1}^q{y}_j{o}_j\\ & =\log \sum _{k=1}^q\exp (o_k)-\sum _{j=1}^q{y}_j{o}_j\end{array}$$
关于最后一行，由于$\mathbf{y}$是一个长度为$q$的独热编码向量，所以除了一个项以外的所有项$j$都消失了。
考虑相对于任何未规范化的预测$o_j$的导数，我们得到：

$${\partial }_{o_j}l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_{k=1}^q\exp (o_k)}-y_j=\mathrm{softmax}(\mathbf{o}{)}_j-y_j.$$

换句话说，导数是我们softmax模型分配的概率与实际发生的情况（由独热标签向量表示）之间的差异。从这个意义上讲，这与我们在回归中看到的非常相似，其中梯度是观测值$y$和估计值$\hat{y}$之间的差异。这不是巧合，在任何指数族分布模型中（参见本书附录中关于数学分布的一节），对数似然的梯度正是由此得出的。这使梯度计算在实践中变得容易很多。

3.4.7 Basics of Information Theory

信息论（information theory）涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。

3.4.7.1 Entropy

信息论的核心思想是量化数据中的信息内容，该数值被称为分布$P$的熵（entropy），可以通过以下方程得到：

$$H[P]=\sum _j-P(j)\log P(j).$$

信息论的基本定理之一指出，为了对从分布$p$中随机抽取的数据进行编码，我们至少需要$H[P]$“纳特（nat）”对其进行编码。“纳特”相当于比特（bit），但是对数底为$e$而不是2。因此，一个纳特是$\frac{1}{\log (2)}\approx 1.44$比特。

3.4.7.2 Amount of Information

压缩与预测有什么关系呢？想象一下，我们有一个要压缩的数据流，如果我们很容易预测下一个数据，那么这个数据就很容易压缩。举一个极端的例子，假如数据流中的每个数据完全相同，那么为了传递数据流的内容，我们不必传输任何信息，也就是说，“下一个数据是xx”这个事件毫无信息量。

但是，如果我们不能完全预测每一个事件，那么我们有时可能会感到"惊异"。克劳德·香农决定用信息量$\log \frac{1}{P(j)}=-\log P(j)$来量化这种惊异程度。在观察一个事件$j$时，并赋予它（主观）概率$P(j)$。当我们赋予一个事件较低的概率时，我们的惊异会更大，该事件的信息量也就更大。在前文中定义的熵，是当分配的概率真正匹配数据生成过程时的信息量的期望。

3.4.7.3 Re-examining Cross-Entropy

交叉熵从$P$到$Q$，记为$H(P,Q)$。
我们可以把交叉熵想象为“主观概率为$Q$的观察者在看到根据概率$P$生成的数据时的预期惊异”。当$P=Q$时，交叉熵达到最低，此时从$P$到$Q$的交叉熵是$H(P,P)=H(P)$。

简而言之，我们可以从两方面来考虑交叉熵分类目标：

1. 最大化观测数据的似然；
2. 最小化传达标签所需的惊异。

3.4.8 Model Prediction and Evaluation

在训练softmax回归模型后，给出任何样本特征，我们可以预测每个输出类别的概率。通常我们使用预测概率最高的类别作为输出类别。如果预测与实际类别（标签）一致，则预测是正确的。我们将使用精度（accuracy）来评估模型的性能，精度等于正确预测数与预测总数之间的比率。

3.4.9 Conclusions

• softmax运算获取一个向量并将其映射为概率。
• softmax回归适用于分类问题，它使用了softmax运算中输出类别的概率分布。
• 交叉熵是一个衡量两个概率分布之间差异的很好的度量，它测量给定模型编码数据所需的比特数。

3.4.10 References

• 本书附录中关于信息论的一节