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数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）

酉变换

酉变换可以由如下方式定义，其中输入和输出之间的关系可以写成矩阵相乘的形式，矩阵A称为酉矩阵，A满足A的逆矩阵等于A的共轭对称矩阵

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第1张图片

DFT变换就是一个酉变换，系数矩阵A满足每一列的模是1并且由于不同频率正弦信号之间的正交性，列之间是相互正交，因此A也是一个酉矩阵

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第2张图片

对于二维DFT我们可以看做两次一维的DFT，因此我们也可以写成矩阵相乘的形式

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第3张图片

 

基

我们表达一个二维图像或者是一个一维向量，我们都是用基的形式来表示

空域基

我们在空域上表示一个图像实际上就是把每个像素看做一个基，然后每个点的像素合起来形成一整幅图像

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第4张图片

傅里叶基

我们在频域上表示图像实际上是把图像中不同频率成分的向量看做不同的基来表示图像

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第5张图片

如下图就是频域的基在空域上的体现，也就是说每幅图像都是由这些图像加权得到的

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第6张图片

二维DFT有它的好处，但是它也有坏处，比如傅里叶变换后得到的频谱值是一个复数，但是我们实际上只需要一个实数，正因为如此我们很多时候不得不用abs来对系数取模；第二个缺点就是每个基实际上都包含了整幅图的信息，这使得有的时候我们表达一幅图像的开销更大。比如我们有一幅图只有一个像素点是1，那么我们用空域的表达只需要一个系数，但是如果我们要在频域上表示，那么我们将用很多个255来表示它（类比冲激响应的频谱是一条直线）

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数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第8张图片

 

其他常用变换

离散余弦变换

为了解决以上第一个问题，我们可以改变图像的基，既然我们的基带有虚数，那我们只需要采用实数基就可以了，这也就是离散余弦变换（DCT）的由来。离散余弦变换也满足酉变换的条件，并且也像DFT一样存在快速算法

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第9张图片

如下图所示是离散余弦变换的基在空域上的表示

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第10张图片

DCT是JPEG标准非常重要的算法

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第11张图片

与离散余弦变换类似的是还存在离散正弦变换

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第12张图片

Hadamard变换

以上提到的变换都是浮点型运算，为了使运算中只存在加减，我们引入了Hadamard变换

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第13张图片

如下图所示是Hadamard变换的基在空域上的表示

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第14张图片

Harr变换

为了解决傅里叶变换的第二个问题，我们引入了Harr变换，Harr变换是一种小波变换，有关小波介绍戳我。

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第15张图片

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第16张图片

如下图所示是小波变换的基在空域上的表示，可以看到小波变换的基不是像其他变换一样覆盖整个图像的，而是在高频的部分将基函数本地化来覆盖图像的不同区域

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第17张图片

以下是小波变换的优点，我们可以看出最重要的一点就是它拥有局部的基函数，从而在时域划分与频域划分上找到了一种平衡

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第18张图片

数字图像处理笔记——酉变换（ Unitary image transforms）_第19张图片

 

 

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