【题解】洛谷 CF11D A Simple Task

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题目

原题链接

解题思路

A Simple Task

题面翻译

求无向图中的简单环个数，保证不存在重边和自环。

简单环：除起点外，其余的点都只出现一次的回路。

题目描述

Given a simple graph, output the number of simple cycles in it. A simple cycle is a cycle with no repeated vertices or edges.

输入格式

The first line of input contains two integers $n$ and $m$ ( $1\le n\le 19$ , $0\le m$ ) – respectively the number of vertices and edges of the graph. Each of the subsequent $ m $ lines contains two integers $a$ and $b$ , ( $1\le a,b\le n$ , $a\ne b$ ) indicating that vertices $a$ and $b$ are connected by an undirected edge. There is no more than one edge connecting any pair of vertices.

输出格式

Output the number of cycles in the given graph.

样例 #1

样例输入 #1

4 6
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4

样例输出 #1

7

提示

The example graph is a clique and contains four cycles of length 3 and three cycles of length 4.

分析

考虑用状压DP：
令 $f[j][i]$ 表示 $n$ 个节点走过的状态，起点为 $i$ 中最小的 $1$ 的位置，且终点为 $j$ 的路径总数。

考虑转移方程：$f[j][i]$ 转移至 $f[k][i|(1<<(k-1))]$，由题可得是直接累加的，但必须满足以下条件：

1. 状态 $f[j][i]$ 存在。
2. $j$ 能到达 $k$。
3. $k$ 大于 $i$ 中最小的 $1$ 的位置。
4. $i$ 中没有 $k$ 这个位置。

那么如果已经有了 $k$ 这个点且 $k$ 就为起点，那就是找到环了，直接统计即可。

注意：

1. 初始化：

    f[i][1<<(i-1)]=1;

即出发的点。

2. 转移：
   同上：

	if(i&(1<<(k-1)))
	{
		if(lowbit(i)==(1<<(k-1)))
			ans+=f[j][i];
	}
	else
		f[k][i|(1<<(k-1))]+=f[j][i];

3. 统计答案：
   会有两个不合法情况，$1$ 是每一条单独的边会被算为答案，$2$ 是合法的环，其反环会被多算一遍。
   所以最终答案为 $\frac{ans-m}{2}$。

Code

#include
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(NULL),cout.tie(NULL);
using namespace std;
const int N=1<<19;
int f[20][N],n,m,x,y,a[101][101],ans;
inline int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}
signed main()
{
	IOS;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cin>>x>>y,a[x][y]=a[y][x]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		f[i][1<<(i-1)]=1;
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(!f[j][i])
				continue;
			for(int k=1;k<=n;k++)
			{
				if(!a[j][k])
					continue;
				if(lowbit(i)>(1<<(k-1)))
					continue;
				if(i&(1<<(k-1)))
				{
					if(lowbit(i)==(1<<(k-1)))
						ans+=f[j][i];
				}
				else
					f[k][i|(1<<(k-1))]+=f[j][i];
			}
		}
	}
	cout<<(ans-m)/2;
	return 0;
}

更多方法

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