【python】自动微分的一个例子

一、例子

import torch

x = torch.arange(4.0)
x.requires_grad_(True)
y = 2 * torch.dot(x, x)
print(y)
y.backward()
x.grad == 4 * x
print(x.grad)

二、解读

1. import torch

这一行导入了PyTorch库。PyTorch是一个开源的机器学习库，广泛用于计算机视觉和自然语言处理等领域。

2. x = torch.arange(4.0)

这一行创建了一个一维张量 x，它包含了4个元素：[0., 1., 2., 3.]。张量是一个类似于数组的数据结构，可以在GPU上进行高效的数学操作。

3. x.requires_grad_(True)

这一行的作用是设置 x 张量的 requires_grad 标志为 True。这意味着PyTorch将会跟踪在 x 上执行的所有操作以便于后续进行自动求导（计算梯度）。`_ 在方法名后表明该操作是就地（in-place）进行，即会改变 x` 而不是创建一个新的副本。

4. y = 2 * torch.dot(x, x)

这一行定义了一个标量(单个数值) y。通过计算 x 与其自身的点积（`torch.dot(x, x)` 得到 x 中所有元素的平方和），再乘以 2，即 y = 2*(x[0]^2 + x[1]^2 + x[2]^2 + x[3]^2)。

5. y.backward()

这一行执行反向传播，自动计算 y 关于 x 的梯度，并将计算结果存储在 x.grad 属性中。因为 y 是关于 x 的一个标量函数，所以 x.grad 的形状将与 x 相同。
在反向传播过程中，当计算一个标量（即单个数值）函数关于一个向量的梯度时，得到的梯度（或称导数）将是一个与原向量形状相同的向量。这是因为梯度是对向量中每个独立变量的偏导数的集合。
让我们来回顾一下基本的微积分定义：
- 对于一个标量函数 f(x) 相对于一个单变量 x 的导数，表示的是 f 在 x 点的斜率，或者说是在 x 点处 f 随 x 的变化率。这里的导数是个单一的数值。
- 对于一个标量函数 f(x, y, z, ...) 相对于多变量（x, y, z, ...）的梯度，表示的是 f 在每个方向上的偏导数组成的向量。在这种情况下，梯度是一个向量，每个分量对应于函数对某个单一变量的偏导数。
在例子中，y 是关于向量 x 的一个标量函数。函数 y = 2 * torch.dot(x, x) 可看作是 y = 2 * (x[0]^2 + x[1]^2 + x[2]^2 + x[3]^2)。当对 y 进行反向传播时，PyTorch 会对向量 x 中的每个分量计算偏导数，并把这些偏导数放在一个新的向量中。这个新向量，也就是梯度，会与原向量 x 有着相同的形状和大小。
这就是为什么 x.grad 的形状将与 x 相同的原因。在这个例子中， x 是一个有4个元素的向量（一维张量），因此它的梯度 x.grad 也会是一个包含4个偏导数值的向量（一维张量），即每个元素对应输入向量 x 的每个分量的梯度。

6. x.grad == 4 * x

这是一个比较操作，判断 x.grad（`x` 的梯度）是否等同于 4 乘以 x。由于对 y = 2*(x[0]^2 + x[1]^2 + x[2]^2 + x[3]^2) 求导可得梯度 dy/dx = 4*x，这个比较应该是 True。

7. print(x.grad)

这一行打印出 x 的梯度。如果之前的比较 x.grad == 4 * x 为真，打印的结果应该是 [0., 4., 8., 12.]。

这段代码演示了利用PyTorch计算梯度的一个简单例子。通过设置 requires_grad 来跟踪运算，然后通过 backward() 方法来自动计算导数。