【数学】二元一次不定方程、裴蜀定理、扩展欧几里得算法与乘法逆元

二元一次不定方程

形如 $ax+by=c$ 的方程称为二元一次不定方程。在数论中一般研究该方程的整数解。
明显原方程无整数解或有无穷多组整数解。

裴蜀定理

裴蜀定理：当且仅当 $\gcd (a,b)|c$ 时，二元一次不定方程有整数解。
一方面，$ax+by\equiv 0\equiv c(\mathrm{mod}\gcd (a,b))$，则 $\gcd (a,b)|c$
另一方面，由下文的扩展欧几里得算法，在 $\gcd (a,b)|c$ 时可构造一组解。
当然，裴蜀定理可以用数学归纳法推广至 $n$ 元一次不定方程，读者不妨自行尝试证明。

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法是解二元一次不定方程的一种算法。
不妨先得到 $ax+by=\gcd (a,b)$ 的特解。
在欧几里得算法中，我们得到了 $\gcd (a,b)=\gcd (a_0,b_0)=\cdots =\gcd (a_k,0)$
容易发现，迭代至 $\gcd (a_k,0)$ 时，取 $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}$ 即可满足要求。
接下来考虑得到了 $a^{\prime }{x}^{\prime }+b^{\prime }{y}^{\prime }=c$ 的特解时，怎么得到 $ax+by=c$ 的特解。
首先代换一下，得到 $b{x}^{\prime }+(a\mathrm{mod}b)y^{\prime }=c$
又因为 $a\mathrm{mod}b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \cdot b$
所以 $b{x}^{\prime }+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \cdot b)y^{\prime }=c$
整理得 $a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \cdot y^{\prime })=c$
故取 $\{\begin{array}{l}x=y^{\prime }\\ y=x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \cdot y^{\prime }\end{array}$ 满足要求。

如果要求 $ax+by=c$，不妨先得到 $a{x}_0+b{y}_0=\gcd (a,b)$，再取 $x=\frac{c\cdot x_0}{\gcd (a,b)},y=\frac{c\cdot y_0}{\gcd (a,b)}$ 显然符合。

代码

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if (b==0){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,y,x);//这里已经交换了x,y
	y-=a/b*x;//这里就只需要减一下了
    return d;
}

参数

• 时间复杂度：$O(\log (\max (a,b)))$
• 空间复杂度：$\Theta (1)$

乘法逆元

$a$ 在模 $p$ 意义下的乘法逆元记作 $a^{-1}(\mathrm{mod}p)$，在不引起歧义时一般记作 $a^{-1}$。
$a$ 模 $p$ 的乘法逆元定义为 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ 的解。 即乘上乘法逆元相当于做除法。
$ax\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ 的解可化为 $ax+py=1$ 的解，不妨使用扩展欧几里得算法求出一组特解。
当然，乘法逆元还有多种其他求法。

练习

• 洛谷P4549
• 洛谷P3811
• 洛谷P1082
• 洛谷P5656