C++算法学习心得六.回溯算法（3）
1.子集II（90题）
题目描述：
给定一个可能包含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。
说明：解集不能包含重复的子集。
示例:
- 输入: [1,2,2]
- 输出: [ [2], [1], [1,2,2], [2,2], [1,2], [] ]
回溯法：集合里有重复元素了，而且求取的子集要去重，注意去重需要先对集合排序，同一树层上重复取2 就要过滤掉，同一树枝上就可以重复取2，因为同一树枝上元素的集合才是唯一子集，这里我们需要收集所有子集，所以需要刚进入递归收集节点
class Solution {
private:
vector path;
vector> result;
//使用数组进行去重逻辑
void backtracking(vector& nums, int startindex, vector& used) {
result.push_back(path);
for (int i = startindex; i < nums.size(); i++) {
if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
continue;//去重条件，设置这个也是在树层去重
}
path.push_back(nums[i]);
used[i] = true;
backtracking(nums, i + 1, used);
path.pop_back();
used[i] = false;
}
}
public:
vector> subsetsWithDup(vector& nums) {
vectorused(nums.size(),false);
sort(nums.begin(),nums.end());//去重的话需要先对数组进行排序
backtracking(nums,0,used);
return result;
}
}; - 时间复杂度: O(n * 2^n)
- 空间复杂度: O(n)
2.递增子序列（491题）
题目描述：
给定一个整型数组, 你的任务是找到所有该数组的递增子序列，递增子序列的长度至少是2。
示例:
- 输入: [4, 6, 7, 7]
- 输出: [[4, 6], [4, 7], [4, 6, 7], [4, 6, 7, 7], [6, 7], [6, 7, 7], [7,7], [4,7,7]]
回溯法：本题求自增子序列，是不能对原数组进行排序的，排完序的数组都是自增子序列了。同一父节点下的同层上使用过的元素就不能再使用了，哈希表是记录本层元素是否重复使用，新的一层uset都会重新定义（清空），所以要知道uset只负责本层
class Solution {
private:
vectorpath;
vector>result;
void backtracking(vector& nums,int startindex){
if(path.size() > 1)result.push_back(path);//因为本题要求是需要大于两个元素的子集
unordered_setuset;//我们定义一个哈希表来去重，题目要求不能对数组进行排序所以使用哈希表去重
for(int i = startindex;i < nums.size();i++){
if((!path.empty() && nums[i] < path.back()) || uset.find(nums[i]) != uset.end()){
continue;//因为需要对路径数组进行操作所以需要确保数组不为空，因为是递增序列，所以数组的最后一个值需要小于新加进来的数，或者在哈希表里找到了重复值，我们就跳过
}
uset.insert(nums[i]);//这里哈希表插入值，为何后面不做回溯操作，因为每次递归重新定义哈希表
path.push_back(nums[i]);//插入值
backtracking(nums,i+1);//递归
path.pop_back();//回溯
}
}
public:
vector> findSubsequences(vector& nums) {
backtracking(nums,0);
return result;
}
}; - 时间复杂度: O(n * 2^n)
- 空间复杂度: O(n)
3.全排列（46题）
题目描述：
给定一个 没有重复 数字的序列，返回其所有可能的全排列。
示例:
- 输入: [1,2,3]
- 输出: [ [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2], [3,2,1] ]
回溯： 首先排列是有序的，也就是说 [1,2] 和 [2,1] 是两个集合，这和之前分析的子集以及组合所不同的地方，排列问题需要一个used数组，标记已经选择的元素，收集元素的数组path的大小达到和nums数组一样大的时候，说明找到了一个全排列，也表示到达了叶子节点。而used数组，其实就是记录此时path里都有哪些元素使用了，一个排列里一个元素只能使用一次。
class Solution {
private:
vectorpath;
vector>result;
//排列需要传入参数有判断是否使用的数组
void backtracking(vector& nums,vector& used){
if(path.size() == nums.size()){
result.push_back(path);//终止条件，我们收集叶子节点，判断路径大小是否符合数组大小
return;
}
//i从0开始记录，排列不用和组合一样设置startindex，
for(int i = 0;i < nums.size();i++){
if(used[i] == true)continue;//判断是否使用过
used[i] = true;//使用过元素
path.push_back(nums[i]);//加入路径
backtracking(nums,used);//递归
used[i] = false;//回溯
path.pop_back();//回溯
}
}
public:
vector> permute(vector& nums) {
path.clear();
result.clear();
vectorused(nums.size(),false);//记得定义一个判断是否使用过的数组
backtracking(nums,used);//回溯
return result;
}
}; - 时间复杂度: O(n)
- 空间复杂度: O(n)
- 每层都是从0开始搜索而不是startIndex
- 需要used数组记录path里都放了哪些元素了
4.全排列 II（47题）
题目描述：
给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。
示例 1：
- 输入：nums = [1,1,2]
- 输出： [[1,1,2], [1,2,1], [2,1,1]]
回溯法： 需要去重逻辑，强调的是去重一定要对元素进行排序，这样我们才方便通过相邻的节点来判断是否重复使用了，对同一树层，前一位（也就是nums[i-1]）如果使用过，那么就进行去重。组合问题和排列问题是在树形结构的叶子节点上收集结果，而子集问题就是取树上所有节点的结果。
class Solution {
private:
vector path;
vector> result;
//回溯函数，这里需要一个数组定义使用过的数
void backtracking(vector& nums, vector& used) {
if (path.size() == nums.size()) {
result.push_back(path);//如果路径大小等于数组大小则收集结果
return;
}
//注意排列问题需要从0开始遍历树层
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
continue;//这里使用组合的树层去重的逻辑
}
//首先判断是否使用过，在进行递归回溯
if (used[i] == false) {
used[i] = true;//遍历过的元素定义为使用过
path.push_back(nums[i]);//路径加入该元素
backtracking(nums, used);//递归
used[i] = false;//回溯
path.pop_back();//回溯
}
}
}
public:
vector> permuteUnique(vector& nums) {
sort(nums.begin(),nums.end());//使用数组时候我们需要对其进行排序
vectorused(nums.size(),false);//定义一个全是false的数组
backtracking(nums,used);//
return result;
}
}; - 时间复杂度: O(n! * n)
- 空间复杂度: O(n)
5.重新安排行程（332题）
题目描述：
给定一个机票的字符串二维数组 [from, to]，子数组中的两个成员分别表示飞机出发和降落的机场地点，对该行程进行重新规划排序。所有这些机票都属于一个从 JFK（肯尼迪国际机场）出发的先生，所以该行程必须从 JFK 开始。
提示：
- 如果存在多种有效的行程，请你按字符自然排序返回最小的行程组合。例如，行程 ["JFK", "LGA"] 与 ["JFK", "LGB"] 相比就更小，排序更靠前
- 所有的机场都用三个大写字母表示（机场代码）。
- 假定所有机票至少存在一种合理的行程。
- 所有的机票必须都用一次 且 只能用一次。
示例 1：
- 输入：[["MUC", "LHR"], ["JFK", "MUC"], ["SFO", "SJC"], ["LHR", "SFO"]]
- 输出：["JFK", "MUC", "LHR", "SFO", "SJC"]
回溯：
一个行程中，如果航班处理不好容易变成一个圈，成为死循环，在解题的过程中没有对集合元素处理好，就会死循环。
记录映射关系一个机场映射多个机场，机场之间要靠字母序排列，一个机场映射多个机场，可以使用std::unordered_map，如果让多个机场之间再有顺序的话，就是用std::map 或者std::multimap 或者 std::multiset。unordered_map
搜索的过程中就是要不断的删multiset里的元素，那么推荐使用unordered_map在遍历 unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets的过程中，可以使用"航班次数"这个字段的数字做相应的增减，来标记到达机场是否使用过了。如果“航班次数”大于零，说明目的地还可以飞，如果“航班次数”等于零说明目的地不能飞了，而不用对集合做删除元素或者增加元素的操作
注意返回值需要用bool类型，只需要找到一个行程，就是在树形结构中唯一的一条通向叶子节点的路线，找到了这个叶子节点了直接返回，可以说本题既要找到一个对数据进行排序的容器，而且还要容易增删元素，迭代器还不能失效
class Solution {
private:
unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets
unordered_map> targets;
bool backtracking(int ticketNum, vector& result) {
if (result.size() == ticketNum + 1) {
return true;
}
for (pair& target :
targets[result[result.size() - 1]]) {
记录到达机场是否飞过了
if (target.second > 0) {
result.push_back(target.first);
target.second--;
if (backtracking(ticketNum, result))
return true;
result.pop_back();
target.second++;
}
}
return false;
}
public:
vector findItinerary(vector>& tickets) {
vector result;
for (const vector& vec : tickets) {
targets[vec[0]][vec[1]]++; // 记录映射关系
}
result.push_back("JFK"); // 起始机场
backtracking(tickets.size(), result);
return result;
}
}; 一定要加上引用即 & target，因为后面有对 target.second 做减减操作，如果没有引用，单纯复制，这个结果就没记录下来，那最后的结果就不对了。
加上引用之后，就必须在 string 前面加上 const，因为map中的key 是不可修改了
6.N皇后（51题）
题目描述：
n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
回溯法：皇后们的约束条件：
- 不能同行
- 不能同列
- 不能同斜线
二维矩阵中矩阵的高就是这棵树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。
只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了。
class Solution {
private:
vector> result;
// n 为输入的棋盘大小
// row 是当前递归到棋盘的第几行了
void backtracking(int n, int row, vector& chessboard) {
if (row == n) {
result.push_back(chessboard);
return;
}
for (int col = 0; col < n; col++) {
if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
backtracking(n, row + 1, chessboard);
chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
}
}
}
bool isValid(int row, int col, vector& chessboard, int n) {
// 检查列
for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
if (chessboard[i][col] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查 45度角是否有皇后
for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查 135度角是否有皇后
for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
if (chessboard[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
return true;
}
public:
vector> solveNQueens(int n) {
result.clear();
std::vector chessboard(n, std::string(n, '.'));
backtracking(n, 0, chessboard);
return result;
}
}; 棋盘的宽度就是for循环的长度，递归的深度就是棋盘的高度，这样就可以套进回溯法的模板里了.
7. 解数独（37题）
题目描述：
编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。
一个数独的解法需遵循如下规则： 数字 1-9 在每一行只能出现一次。 数字 1-9 在每一列只能出现一次。 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。 空白格用 '.' 表示。
棋盘搜索问题可以使用回溯法暴力搜索，只不过这次我们要做的是二维递归。
因为解数独找到一个符合的条件（就在树的叶子节点上）立刻就返回，相当于找从根节点到叶子节点一条唯一路径，所以需要使用bool返回值。
一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性！
class Solution {
private:
bool backtracking(vector>& board) {
for (int i = 0; i < board.size(); i++) { // 遍历行
for (int j = 0; j < board[0].size(); j++) { // 遍历列
if (board[i][j] == '.') {
for (char k = '1'; k <= '9'; k++) { // (i, j) 这个位置放k是否合适
if (isValid(i, j, k, board)) {
board[i][j] = k; // 放置k
if (backtracking(board)) return true; // 如果找到合适一组立刻返回
board[i][j] = '.'; // 回溯，撤销k
}
}
return false; // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false
}
}
}
return true; // 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了
}
bool isValid(int row, int col, char val, vector>& board) {
for (int i = 0; i < 9; i++) { // 判断行里是否重复
if (board[row][i] == val) {
return false;
}
}
for (int j = 0; j < 9; j++) { // 判断列里是否重复
if (board[j][col] == val) {
return false;
}
}
int startRow = (row / 3) * 3;
int startCol = (col / 3) * 3;
for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++) { // 判断9方格里是否重复
for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++) {
if (board[i][j] == val ) {
return false;
}
}
}
return true;
}
public:
void solveSudoku(vector>& board) {
backtracking(board);
}
};
总结：
子集II：注意该题有重复元素，所以需要考虑树层去重，且需要子集所以需要收集所有树的结点，且也是组合问题，需要startindex取找位置，不要忘记加+1操作，结果收集语句的位置，使用used数组来去重的话需要对原来数组进行排序，不要忘记把used数组也要进行回溯，
递增子序列：此题和去重题目很像，但是 注意不能直接用原来套路去实现，uesd数组需要去排序，但是题目序列顺序不能颠倒，所以采用哈希表的形式来实现，使用set，因为还是取子集，stratindex注意，i+1取仍然树层去重，这里需要循环条件或者是进入下一次递归的条件，因为是递增的，所以注意要取数组最后元素和当前元素对比，然后不能空数组操作，哈希表要去实现去重，find函数到end，没找到说明没重复，这里回溯也需要注意，不必对哈希表清空操作。
全排列：无重复序列的排列，排列数组有顺序，使用Used数组来标记是否使用过该数字，该题也是需要在叶子节点收集结果，used数组来记录我们那些元素使用过，我们使用uesd == false来进行递归回溯，排列和组合 不同在于组合需要startindex，排列从0开始，注意我们需要对使用过的数组来进行used变化和回溯，
全排列II：是需要有重复元素，需要进行树层去重操作，这里仍然需要used数组来进行去重操作，子集问题是收集所有树节点，排列和组合问题是回收所有的叶子节点，排列需要从0去遍历，组合从startindex来遍历，这里的循环逻辑是used[i]==false就进行递归循环操作，这里有一个细节需要注意，used数组需要进行回溯，依然需要进行排序来，
重新安排行程：我们需要记录好映射关系，找到对应的路径不要陷入死循环，这里数据格式的选择很重要，选择哈希表来去重，也要注意是有返回值，找到了一条路径就立即返回，要注意数据处理方式也需要注意
N皇后：回溯法来实现，二维矩阵中矩阵的高就是这棵树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度，这里我们需要收集树的叶子节点，就是我们需要的结果，需要写判断合法函数，如果合法就进行递归和回溯操作，最后满足条件收集结果
解数独：二维递归，一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性，其实和n皇后很像，就是也需要处理逻辑，而且只是再维度上扩大了而已