我的数学之美（一）——RANSAC算法详解

给定两个点p1与p2的坐标，确定这两点所构成的直线，要求对于输入的任意点p3，都可以判断它是否在该直线上。初中解析几何知识告诉我们，判断一个点在直线上，只需其与直线上任意两点点斜率都相同即可。实际操作当中，往往会先根据已知的两点算出直线的表达式（点斜式、截距式等等），然后通过向量计算即可方便地判断p3是否在该直线上。 

生产实践中的数据往往会有一定的偏差。例如我们知道两个变量X与Y之间呈线性关系，Y=aX+b，我们想确定参数a与b的具体值。通过实验，可以得到一组X与Y的测试值。虽然理论上两个未知数的方程只需要两组值即可确认，但由于系统误差的原因，任意取两点算出的a与b的值都不尽相同。我们希望的是，最后计算得出的理论模型与测试值的误差最小。大学的高等数学课程中，详细阐述了最小二乘法的思想。通过计算最小均方差关于参数a、b的偏导数为零时的值。事实上，在很多情况下，最小二乘法都是线性回归的代名词。 

遗憾的是，最小二乘法只适合与误差较小的情况。试想一下这种情况，假使需要从一个噪音较大的数据集中提取模型（比方说只有20%的数据时符合模型的）时，最小二乘法就显得力不从心了。例如下图，肉眼可以很轻易地看出一条直线（模式），但算法却找错了。 



RANSAC算法的输入是一组观测数据（往往含有较大的噪声或无效点），一个用于解释观测数据的参数化模型以及一些可信的参数。RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证： 

• 有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。
• 用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。
• 如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。
• 然后，用所有假设的局内点去重新估计模型（譬如使用最小二乘法），因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。
• 最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。
• 上述过程被重复执行固定的次数，每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。

整个过程可参考下图： 



关于算法的源代码，Ziv Yaniv曾经写一个不错的C++版本，我在关键处增补了注释： 

#include <math.h>
#include "LineParamEstimator.h"

LineParamEstimator::LineParamEstimator(double delta) : m_deltaSquared(delta*delta) {}
/*****************************************************************************/
/*
 * Compute the line parameters  [n_x,n_y,a_x,a_y]
 * 通过输入的两点来确定所在直线，采用法线向量的方式来表示，以兼容平行或垂直的情况
 * 其中n_x,n_y为归一化后，与原点构成的法线向量，a_x,a_y为直线上任意一点
 */
void LineParamEstimator::estimate(std::vector<Point2D *> &data,
                                                                    std::vector<double> &parameters)
{
    parameters.clear();
    if(data.size()<2)
        return;
    double nx = data[1]->y - data[0]->y;
    double ny = data[0]->x - data[1]->x;// 原始直线的斜率为K，则法线的斜率为-1/k
    double norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);

    parameters.push_back(nx/norm);
    parameters.push_back(ny/norm);
    parameters.push_back(data[0]->x);
    parameters.push_back(data[0]->y);
}
/*****************************************************************************/
/*
 * Compute the line parameters  [n_x,n_y,a_x,a_y]
 * 使用最小二乘法，从输入点中拟合出确定直线模型的所需参量
 */
void LineParamEstimator::leastSquaresEstimate(std::vector<Point2D *> &data,
                                                                                            std::vector<double> &parameters)
{
    double meanX, meanY, nx, ny, norm;
    double covMat11, covMat12, covMat21, covMat22; // The entries of the symmetric covarinace matrix
    int i, dataSize = data.size();

    parameters.clear();
    if(data.size()<2)
        return;

    meanX = meanY = 0.0;
    covMat11 = covMat12 = covMat21 = covMat22 = 0;
    for(i=0; i<dataSize; i++) {
        meanX +=data[i]->x;
        meanY +=data[i]->y;

        covMat11    +=data[i]->x * data[i]->x;
        covMat12    +=data[i]->x * data[i]->y;
        covMat22    +=data[i]->y * data[i]->y;
    }

    meanX/=dataSize;
    meanY/=dataSize;

    covMat11 -= dataSize*meanX*meanX;
        covMat12 -= dataSize*meanX*meanY;
    covMat22 -= dataSize*meanY*meanY;
    covMat21 = covMat12;

    if(covMat11<1e-12) {
        nx = 1.0;
            ny = 0.0;
    }
    else {      //lamda1 is the largest eigen-value of the covariance matrix
               //and is used to compute the eigne-vector corresponding to the smallest
               //eigenvalue, which isn't computed explicitly.
        double lamda1 = (covMat11 + covMat22 + sqrt((covMat11-covMat22)*(covMat11-covMat22) + 4*covMat12*covMat12)) / 2.0;
        nx = -covMat12;
        ny = lamda1 - covMat22;
        norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);
        nx/=norm;
        ny/=norm;
    }
    parameters.push_back(nx);
    parameters.push_back(ny);
    parameters.push_back(meanX);
    parameters.push_back(meanY);
}
/*****************************************************************************/
/*
 * Given the line parameters  [n_x,n_y,a_x,a_y] check if
 * [n_x, n_y] dot [data.x-a_x, data.y-a_y] < m_delta
 * 通过与已知法线的点乘结果，确定待测点与已知直线的匹配程度；结果越小则越符合，为
 * 零则表明点在直线上
 */
bool LineParamEstimator::agree(std::vector<double> &parameters, Point2D &data)
{
    double signedDistance = parameters[0]*(data.x-parameters[2]) + parameters[1]*(data.y-parameters[3]);
    return ((signedDistance*signedDistance) < m_deltaSquared);
}

RANSAC寻找匹配的代码如下： 

/*****************************************************************************/
template<class T, class S>
double Ransac<T,S>::compute(std::vector<S> &parameters,
                                                      ParameterEsitmator<T,S> *paramEstimator ,
                                                    std::vector<T> &data,
                                                    int numForEstimate)
{
    std::vector<T *> leastSquaresEstimateData;
    int numDataObjects = data.size();
    int numVotesForBest = -1;
    int *arr = new int[numForEstimate];// numForEstimate表示拟合模型所需要的最少点数，对本例的直线来说，该值为2
    short *curVotes = new short[numDataObjects];  //one if data[i] agrees with the current model, otherwise zero
    short *bestVotes = new short[numDataObjects];  //one if data[i] agrees with the best model, otherwise zero


              //there are less data objects than the minimum required for an exact fit
    if(numDataObjects < numForEstimate)
        return 0;
        // 计算所有可能的直线，寻找其中误差最小的解。对于100点的直线拟合来说，大约需要100*99*0.5=4950次运算，复杂度无疑是庞大的。一般采用随机选取子集的方式。
    computeAllChoices(paramEstimator,data,numForEstimate,
                                        bestVotes, curVotes, numVotesForBest, 0, data.size(), numForEstimate, 0, arr);

       //compute the least squares estimate using the largest sub set
    for(int j=0; j<numDataObjects; j++) {
        if(bestVotes[j])
            leastSquaresEstimateData.push_back(&(data[j]));
    }
        // 对局内点再次用最小二乘法拟合出模型
    paramEstimator->leastSquaresEstimate(leastSquaresEstimateData,parameters);

    delete [] arr;
    delete [] bestVotes;
    delete [] curVotes;

    return (double)leastSquaresEstimateData.size()/(double)numDataObjects;
}

在模型确定以及最大迭代次数允许的情况下，RANSAC总是能找到最优解。经过我的实验，对于包含80%误差的数据集，RANSAC的效果远优于直接的最小二乘法。 

RANSAC可以用于哪些场景呢？最著名的莫过于图片的拼接技术。优于镜头的限制，往往需要多张照片才能拍下那种巨幅的风景。在多幅图像合成时，事先会在待合成的图片中提取一些关键的特征点。计算机视觉的研究表明，不同视角下物体往往可以通过一个透视矩（3X3或2X2）阵的变换而得到。RANSAC被用于拟合这个模型的参数（矩阵各行列的值），由此便可识别出不同照片中的同一物体。可参考下图： 







另外，RANSAC还可以用于图像搜索时的纠错与物体识别定位。下图中，有几条直线是SIFT匹配算法的误判，RANSAC有效地将其识别，并将正确的模型（书本）用线框标注出来：