离散数学——命题逻辑、谓词逻辑、集合与关系知识点
一、命题逻辑
一、命题及其表示法
命题的定义：具有确定真值的陈述句。
二、联结词（简单不做赘述）
1.否定：¬
2.合取：∧
3.析取：∨
4.条件：→
5.双条件：↔
三、命题公式与翻译
四、真值表与等价公式
1.真值表：根据命题公式的真值可简单构建，示例：构造¬P∨Q的真值表如下
| P | Q | ¬ P | ¬P∨Q |
| T | T | F | T |
| T | F | F | F |
| F | T | T | T |
| F | F | T | T |
2.等价公式：
对合律：¬¬P⇔P；
幂等律：P∨P⇔P，P∧P⇔P；
结合律：（P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)，(P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R);
交换律：P∨Q⇔Q∨P，Q∧P⇔P∧Q；
分配律：P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)，P∧(Q∨R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)；
吸收律：P∨(P∧Q)⇔P，P∧(P∨Q)⇔P；
德摩根律：¬(P∨Q)⇔¬P∧¬Q，¬(P∧Q)⇔¬P∨¬Q;
同一律：P∨F⇔P，P∧T⇔P；
零律：P∧F⇔F，P∨T⇔T；
否定律：P∨¬P⇔T，P∧¬P⇔F；
五、重言式与蕴含式
1.重言式（永真公式）：无论对分量作怎样指派，真值永远为T的命题。
2.矛盾式（永假公式）：无论对分量作怎样指派，真值永远为F的命题。
3.蕴含式：当且仅当P→Q是一个重言式时，我们称“P蕴含Q”，记作P⇒Q
P⇔Q的充要条件：P⇒Q，P⇒Q；
4.对P→Q：它的逆换式：Q→P；反换式：¬P→¬Q；逆反式：¬Q→¬P，
P→Q⇔¬Q→¬P。
六、其他联结词
1.不可兼析取：⊕，手写写为
P⊕Q，只有当P和Q一真一假时，它的真值为真，否则为假
2.条件否定：P条件否定Q，只有P为真Q为假时才为真。
3.与非和或非：与非↑，或非↓。性质：
P↑Q⇔¬（P∧Q）
P↑P=¬（P∧P）=¬P
P↓Q⇔¬（P∨Q）
P↓P=¬（P∨P）=¬P
七、对偶与范式
1.对偶式：在命题A中将所有∧和∨互换，F和T互相取代，即得到对偶式A*。
性质：¬A（P1，P2，...，Pn）⇔A*(¬P1，¬P2，...，¬Pn)
A（¬P1，¬P2，...，¬Pn）⇔¬A*(P1，P2，...，Pn)
2.范式
合取范式：A1∧A2∧A3∧...∧An；析取范式A1∨A2∨A3∨...∨An
求范式的步骤：（1）将公式中联结词全换成∨∧¬，（2）将¬移到各命题元之前（3）.分配结合律调整。
主析取范式：全是小项，小项内全是∧，小项的编码：真为1，假为0，
例如：主析取范式（¬P∧Q）∨（P∧Q）编码表示为m01∨m11，表示为
1,3
主合取范式：由大项组成，大项内全是∨，大项编码：真为0，假为1，
例如：主合取范式（¬P∨Q）∧（P∨Q）编码表示为M10∧M00，可表示为
0,2
求得主和/析取范式即可得到主析/合取范式，根据编码，如大小项中有3个元素，则有2*2*2=8个编码：假设得到的是0,2，由此可直接推出主析取范式1,3,4,5,6,7。
八、推理理论
主要有大题证明，
1.规则说明：
P规则：每次引入前提时使用，
T规则：每次推出一个什么结论时使用
I：写在T之后，用于每次由已知推出某个东西时，体现为⇒
E：写在T之后，用于由前面的条件得到等价的东西时，体现为⇔
2.证明方法：
1.真值表法（不推荐，除非题目规定或木法）
2.直接证法：正向由前提一步步推出结论。
3.间接证法：（1）将要得的结论前加一个¬来当做条件，证明其与前提矛盾，反证引入这个一步需要“P（附加前提）”
（2）CP规则，常用与证明类似：***￥￥￥###⇒（R→C），的问题，此时将R作为前提条件：R P（附加前提），最后得出结论时格式应是R→C CP
二、谓词逻辑
一、谓词的概念与表示（应该没啥考点）
例如在命题：他是三好学生。
这个命题中“是三好学生”就是谓词
二、命题函数与量词
命题函数：通过举例学习：
如定义一个命题函数M（x）：M（x）：x是人。
量词：存在、所有等表示范围的词
三、谓词公式与翻译
举例说明：
翻译：这个蓝色的地板上放了一些零食。
设A（x）：x是蓝色的；B（x）：x是地板；C（x）：x是零食；D（x，y）：y放在x上
x：这个，y：一些
A(x)∧B(x)∧C(y)∧D(x,y)
四、变元的约束
约束变元：在一个公式中在ョ或∀定义范围内的变元，其他为自由变元。
换名：针对约束变元
代入：针对自由变元，规则是全覆盖并且不能和已有的重复。
五、谓词演算的等价式与蕴含式
本节主要有以下几个公式：
¬（∀x）P(x)⇔（ョx）¬P(x)
¬（ョx）P(x)⇔（∀x）¬P(x)
出现类似（∀x）（P(x)→Q）时可化简：（∀x）(¬P(x)∨Q)⇔¬(ョx)P(x)∨Q
六、前束范式
前束范式：一个公式，它的两次均在全式的开头，他们的作用域延伸至整个公式的末尾。
七、推理
规则介绍：
US：用于（∀x）P(x)变为P(a)
ES：用于（ョx）P(x)变为P(a)
UG：P(a)向（∀x）P(x)
EG：P(a)向（ョx）P(x)
三、集合与关系
一、集合的概念和表示法
全集：在一定范围内所有集合均为某一集合的子集，则该集合为全集，记为E。
幂集：给定集合A，由A的所有子集组成的集合。例如：A={a，b}，则A的幂集为{∅，{a}，{b}，{a，b}}
二、集合的运算
集合的交：∩
集合的并：∪
满足分配律：A∩ (B∪C)=（A∩ B）∪ （A∩ C），互换也成立。
吸收率成立
集合的补：B对于A的补集，表示为A-B，集合元素全部属于A，不属于B。
~A：集合A的绝对补，即全集E-A。
公式：对集合A和B：
~(A∪B)=~A∩~B , ~(A∩B)=~A∪~B
A-B=A∩~B=A-(A∩B)
集合的对称差：通俗来讲就是两个集合相加后去掉两个集合的重叠部分。
A⊕B=（A-B）⊕（B-A）
三、包含排斥性原理
定理1：设A1，A2为有限集合，元素个数分别为|A1|，|A2|，则：|A1∪A2|=|A1|+|A2|-|A1∩A2|
推广到有3个、四个....n个集合的情况。
四、序偶和笛卡尔积
笛卡尔积：有集合A、B，在序偶中，第一个是A的元素，第二个是B的元素，这样的序偶集合称为笛卡尔乘积（直积）：A×B={
五、关系及其表示
任意序偶确定了一个二元关系R，
在一个关系
Ix：X上的恒等关系，Ix={
六、关系的性质
自反，对任意x都有
对称，对任意
传递，对存在的任意xRy，yRz，都有xRz。
关系矩阵画法。
七、复合关系和逆关系
复合关系：R为X到Y的关系，S为Y到Z的关系，则R○S为R和S的复合关系。
复合关系的矩阵运算。
逆关系：将关系R中每个序偶的前后顺序互换，得到的Rᶜ是R的逆关系。
性质：
(R1∪R2)ᶜ=R1ᶜ∪R2ᶜ
(R1∩R2)ᶜ=R1ᶜ∩R2ᶜ
(A×B)ᶜ=B×A
(R1-R2)ᶜ=R1ᶜ-R2ᶜ
复合与逆关系性质：(T○S)ᶜ=Sᶜ○Tᶜ
若R对称：R=Rᶜ
若R反对称：R∩Rᶜ=Ix
八、关系闭包运算
自反闭包r(R)=R∪Ix
对称闭包s(R)=R∪Rᶜ
传递闭包t(R),先写出自身关系矩阵M1，用M1×M1得M2，M2×M1得M3，几阶矩阵就乘到M几，
最后把所有M1到Mn相加就是t（R）的关系矩阵。
九、集合的划分和覆盖
把集合A分成若干子集，使A中每个元素都至少属于其中一个子集，这些子集的集合叫A的覆盖。
如果每个元素属于且仅属于其中一个子集，那么这些子集的集合就叫做A的划分。
加细：若A有两个划分X，Y，对与Y中每个Yi都有X中对应的Xi使得Yi⊆Xi，则称Y是X的加细。
十、等价关系和等价类
对于关系R，如果是自反、对称、传递的，那么R称为等价关系。
等价类：是一个元素的集合，例如：R是集合A上的等价关系，由元素a形成的等价类就是在集合R中所有与a有关的序偶形成的集合就是a形成的等价类。
A中等价类的集合则称为等价类的商集。记作A/R。
十一、相容关系
对于关系R，如果是自反的、对称的，则称R为相容关系。
相容类：存在相容关系的集合A中，能形成相容关系的元素子集，
最大相容类：加入任何元素都不再是相容类的相容类。
十二、序关系
满足自反、反对称性和传递性。
哈斯图画法。
全序关系
良序集合
全序集合