2023 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A 题 定日镜场的优化设计完整分享

构建以新能源为主体的新型电力系统，是我国实现“碳达峰”“碳中和”目标的一项重要

措施。塔式太阳能光热发电是一种低碳环保的新型清洁能源技术[1]。

定日镜是塔式太阳能光热发电站（以下简称塔式电站）收集太阳能的基本组件，其底座由

纵向转轴和水平转轴组成，平面反射镜安装在水平转轴上。纵向转轴的轴线与地面垂直，可以

控制反射镜的方位角。水平转轴的轴线与地面平行，可以控制反射镜的俯仰角，定日镜及底座

示意图见图 1。两转轴的交点（也是定日镜中心）离地面的高度称为定日镜的安装高度。塔式

电站利用大量的定日镜组成阵列，称为定日镜场。定日镜将太阳光反射汇聚到安装在镜场中吸

收塔顶端上的集热器，加热其中的导热介质，并将太阳能以热能形式储存起来，再经过热交换

实现由热能向电能的转化。太阳光并非平行光线， 而是具有一定锥形角的一束锥形光线，因此

太阳入射光线经定日镜任意一点的反射光线也是一束锥形光线[2]。定日镜在工作时，控制系统

根据太阳的位置实时控制定日镜的法向，使得太阳中心点发出的光线经定日镜中心反射后指向

集热器中心。集热器中心的离地高度称为吸收塔高度。

现计划在中心位于东经 98.5 ∘ ，北纬 39.4 ∘ ，海拔 3000 m ，半径 350 m 的圆形区域内建设

一个圆形定日镜场（图 2 ）。 以圆形区域中心 为原点，正东方向为 轴正向，正北方向为 轴

正向，垂直于地面向上方向为 z 轴正向建立坐标系，称为镜场坐标系。

规划的吸收塔高度为 80 m ，集热器采用高 8 m 、直径 7 m 的圆柱形外表受光式集热器。吸

收塔周围 100 m 范围内不安装定日镜，留出空地建造厂房，用于安装发电、储能、控制等设备。

定日镜的形状为平面矩形，其上下两条边始终平行于地面，这两条边之间的距离称为镜面高度，

镜面左右两条边之间的距离称为镜面宽度，通常镜面宽度不小于镜面高度。镜面边长在 2 m 至

8 m 之间，安装高度在 2 m 至 6 m 之间，安装高度必须保证镜面在绕水平转轴旋转时不会触及

地面。由于维护及清洗车辆行驶的需要，要求相邻定日镜底座中心之间的距离比镜面宽度多 5 m

以上。

为简化计算，本问题中所有“年均”指标的计算时点均为当地时间每月 21 日 9:00 、 10:30 、

12:00 、 13:30 、 15:00。

请建立模型解决以下问题：

问题 1 若将吸收塔建于该圆形定日镜场中心，定日镜尺寸均为 6 m×6 m，安装高度均为 4 m，且给定所有定日镜中心的位置（以下简称为定日镜位置，相关数据见附件），请计算该定 日镜场的年平均光学效率、年平均输出热功率，以及单位镜面面积年平均输出热功率（光学效 率及输出热功率的定义见附录）。请将结果分别按表 1 和表 2 的格式填入表格。

完整见附录！

1. 定义定日镜场和太阳常数等参数：首先，代码定义了定日镜场的各种参数，包括定日镜的尺寸、安装高度、吸收塔的高度、定日镜场的中心坐标等。同时，太阳常数也被定义为1.366 kW/m2，用于计算太阳直射辐射。

2. 计算太阳位置参数：通过一些数学公式，计算了太阳的赤纬角、太阳高度角和太阳方位角。这些参数用于确定太阳在天空中的位置，从而影响定日镜场的性能。

3. 计算法向直接辐射辐照度 (DNI)：使用大气模型计算了法向直接辐射辐照度 (DNI)，这是太阳直射到定日镜表面上的辐射能量。这一计算考虑了太阳高度和大气条件的影响。

4. 计算阴影遮挡效率：定日镜可能会相互遮挡，影响光线的接收。这里计算了阴影遮挡效率，以考虑镜面之间的阴影情况。

5. 计算余弦效率：余弦效率是考虑太阳光线的角度，通常是太阳高度角的余弦值。这一效率表示太阳光线与定日镜表面的入射角，对光的接收有影响。

6. 计算大气透射率：大气透射率表示大气对太阳辐射的透射效率。根据太阳高度角的不同，大气透射率可能会变化。

7. 计算集热器截断效率：集热器截断效率考虑了定日镜遮挡的影响，以及镜面的尺寸。这一效率用于确定实际接收到的辐射能量。

8. 计算光学效率：光学效率是多个因素的综合效应，包括阴影遮挡、余弦效率、大气透射率、截断效率和镜面反射率。光学效率表示定日镜的光学性能。

9. 计算定日镜场的输出热功率：利用上述计算得到的各项参数，计算了整个定日镜场的输出热功率。这是太阳能集热系统的关键性能指标。

10. 计算年平均值：通过对每个定日镜位置在一年中不同时刻的性能参数进行累积，计算了年平均的光学效率、余弦效率、阴影遮挡效率、截断效率和输出热功率。

11. 输出结果：最后，代码输出了年平均性能参数的值，以及单位镜面面积的年平均输出热功率。这些参数对于评估定日镜场的性能非常重要。

问题 2 按设计要求，定日镜场的额定年平均输出热功率（以下简称额定功率）为 60 MW。 若所有定日镜尺寸及安装高度相同，请设计定日镜场的以下参数：吸收塔的位置坐标、定日镜尺寸、安装高度、定日镜数目、定日镜位置，使得定日镜场在达到额定功率的条件下，单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。请将结果分别按表 1、2、3 的格式填入表格，并将吸收塔的位置坐标、定日镜尺寸、安装高度、位置坐标按模板规定的格式保存到 result2.xlsx 文件中。

完整见附录！

1. 定义常数和初始参数：代码首先定义了一些常数，包括太阳常数（G0）、圆周率（pi）以及定日镜场的中心坐标。还定义了一些初始参数，包括镜面宽度、镜面高度、塔高度和镜面总数的初始猜测值。

2. 计算太阳高度角和法向直接辐射辐照度 (DNI)：通过数学公式计算了太阳高度角，这是太阳在天空中的仰角。接着，计算了法向直接辐射辐照度 (DNI)，这是太阳辐射直接射到镜面上的辐射强度。

3. 计算光学效率：定义了一个函数 calculate_optical_efficiency，用于计算定日镜的光学效率。光学效率综合考虑了阴影遮挡效率、余弦效率、大气透射率、截断效率和镜面反射率等因素，以评估镜面的性能。

4. 定义目标函数：目标函数 objective 用于计算单位镜面面积年平均输出热功率的相反数，以便通过优化求解最大化该值。该函数在定日镜场中的每个镜面位置和不同时刻计算出年平均输出热功率，然后将其累积以得到单位镜面面积的年平均输出热功率。

5. 定义约束条件：约束条件 constraint 确保年平均输出热功率不小于额定功率（60e6 kW）。这是一个等式约束，确保定日镜场满足给定的功率要求。

6. 进行优化：使用 minimize 函数从初始参数出发，优化目标函数，以找到最佳的镜面宽度、镜面高度、塔高度和镜面总数，从而使单位镜面面积年平均输出热功率最大化，同时满足额定功率的要求。

7. 输出结果：最后，代码输出了最佳参数和对应的单位镜面面积年平均输出热功率。这些参数和结果对于设计和优化太阳能定日镜场非常有用。

问题 3 如果定日镜尺寸可以不同，安装高度也可以不同，额定功率设置同问题 2，请重新设计定日镜场的各个参数，使得定日镜场在达到额定功率的条件下，单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。请将结果分别按表 1、表 2 和表 3 的格式填入表格，并将吸收塔的位置坐标、各定日镜尺寸、安装高度、位置坐标按模板规定的格式保存到 result3.xlsx 文件中。

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问题三其实是问题二的变种，在原来基础上稍加限制条件见的修改：

完整附录!：