三角形

1.基本概念

中线:三角形一边中点与这边所对定点的连线段。

高线:从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。

角平分线:平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。

 

2.三角不等式

1) 三角形两边之和大于第三边,两边之差的绝对值小于第三边。如果两者相等,则是退化三角形。

2) 三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

 

3.勾股定理

设直角三角形ABC的三顶点A、B、C所对的三边分别为a、b、c,则a2 + b2 = c2当角C = 90。

 

4.正弦定理

(R为三角形外接圆半径):

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5.余弦定理

三角形_第1张图片

 

6.角度

三角形两只内角之和,等于剩下的一只的外角。

在欧几里德平面内,三角形的内角和等于180°。

 

7.锐角、直角、钝角三角形

 

8.等边三角形

等边三角形(又称正三角形),为三边相等的三角形。其三个内角相等,均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是a,则其面积公式为

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等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状。六个等边三角形可以拼成一个正六边形。

 

9.等腰三角形

等腰三角形是三条边中有两条边相等(或是其中两只内角相等)的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为腰,而另一条边被称为底边,两条腰交叉组成的那个点被称为顶点,它们组成的角被称为顶角。等腰三角形的重心、中心和垂心都位于顶点向底边的垂线上。

等腰三角形的底的垂直平分线,刚好又是对应角的角平分线。

等边三角形是等腰三角形的一个特殊形式。

等腰直角三角形只有一种形状,其中两个角为45度。

 

10.退化三角形

退化三角形的面积为零。这种三角形通常只有几类:如果一个三角形内的三只角的角度分别为(180,0,0)或

(90,90,0),则它是一个退化三角形。

另外,如果一个三角形的其中一条边等于其余两条边之和,或者其中一条边为零,都可以称为退化三角形。

 

11.面积

1)已知两边及其夹角

设a、b为所知的两边,C为该夹角,三角形面积

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2)已知底和高

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即底×高÷2。因为两个相同的三角形叠合可成平行四边形。

3)已知三边长

希罗公式(又称海伦公式):设p等于三角形三边和的一半:

clip_image006 , 则 clip_image007

简化后为clip_image008

基于希罗公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定,有一个变化的计法。设a>=b>=c,三角形面积为

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4)在坐标系中已知三顶点坐标

由(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)三个顶点构成的三角形,其面积为:

三角形_第2张图片

5)任三角形外心和内心半径算面积法

假设已知三角形面积为x,三边边长分别为a,b,c,s为三角形周长(a + b + c)

内心半径(r):

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外心半径(R):

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6)三角形的五心

内心

三个内角的角平分线的交点三角形内切圆的圆心

外心

三条边的垂直平分线的交点三角形外接圆的圆心

垂心

三条高的交点

重心

三条中线的交点被交点划分的线段比例为1:2(靠近角的一段较长)

旁心

外角的角平分线的交点有三个,为三角形某一边上的旁切圆的圆心

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