CSP 202109-2 非零段划分

CSP 202109-2 非零段划分

题目

• 思路一（水面升降法）
  类比岛屿问题，假设一开始p非常大，水面淹没了所有岛屿，随着p的减小，即水面的下降，岛屿数量出现变化。每当一个凸峰出现，岛屿数就会多一个；每当一个凹谷出现，原本相邻的两个岛屿就被这个凹谷连在一起了，岛屿数减少一个。当然也可以从水面上升的角度来解答。

  // 202109-2
  // 1）水面下降解法
  #include 
  using namespace std;
  const int N = 500010;
  const int M = 10010;
  int a[N], d[M];
  int n;
  
  int main()
  {
  	cin>>n;
  	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
  	a[0]=a[n+1]=0;
  
  	// unique 返回的是去重后的右边界（闭区间）
  	n=unique(a,a+n+2)-a-1;
  	// 此时[1,n)上即为去重后的元素，且a[0]=a[n]=0
  
  	for(int i=1;i<n;++i){
  		if(a[i-1]<a[i] && a[i]>a[i+1])  // 凸峰
  			d[a[i]]++;
  		else if(a[i-1]>a[i] && a[i]<a[i+1]) // 凹峰
  			d[a[i]]--;
  	}
  
  	int res=0,sum=0;
  	for(int i=M-1;i>=1;--i)     // 水平面下降
  		sum+=d[i],res=max(res,sum);
  	cout<<res<<endl;
  
  	return 0;
  }
  // 2）水面上升
  #include 
  using namespace std;
  const int N = 500010;
  const int M = 10010;
  int a[N], d[M];
  int n;
  
  int main()
  {
  	cin>>n;
  	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
  	a[0]=a[n+1]=0;
  
  	// uniqur 返回的是去重后的右边界（闭区间）
  	n=unique(a,a+n+2)-a-1;
  	// 此时[1,n)上即为去重后的元素，且a[0]=a[n]=0
  	
  
  	for(int i=1;i<n;++i){
  		if(a[i-1]<a[i] && a[i]>a[i+1])  // 凸峰
  			d[a[i]]--;
  		else if(a[i-1]>a[i] && a[i]<a[i+1]) // 凹峰
  			d[a[i]]++;
  	}
  
  	int res=0,sum=1;	// 一开始水面在最低点，只有一个岛屿
  	for(int i=0;i<M;++i)     // 水平面下降，这里i要从0开始
  		sum+=d[i],res=max(res,sum);
  	cout<<res<<endl;
  
  	return 0;
  }
  
  

• 思路二（射线+差分）
  想象一个跌宕起伏的山群，遍历a[i]时就像是水平扫描高低不同的山峰，对于一个山峰，我们只看左侧的迎风面即可，当前山峰的高度范围在a[i-1]~a[i]，即当p属于(a[i-1],a[i]]时，这个山峰就是一个独立的山峰，贡献+1。

  #include 
  using namespace std;
  const int N = 500010;
  const int M = 10010;
  int a[N], diff[M];      // diff 差分数组
  int n;
  
  int main()
  {
  	cin>>n;
  	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
  	
  	for(int i=1;i<=n;++i)
  		if(a[i-1]<a[i]){
  			// 当p在迎风坡 [ a[i-1]+1,a[i] ]上水平穿过，这个山坡的贡献+1
  			diff[a[i-1]+1]++,diff[a[i]+1]--;
  		}
  	
  	int res=0,sum=0;
  	for(int i=1;i<M;++i){
  		sum+=diff[i];
  		res=max(res,sum);
  	}
  	
  	cout<<res<<endl;
  	
  	return 0;
  }
  
  

• 思路三（索引法+水面升降）
  该思路与思路一水面上升法类似，不同的是不再两侧判断是凹峰和凸峰，而是判断是在水面之下还是在水面之上，为此需要依据高度对山峰进行“排序”，不过需要两侧山峰的状态，就需要记录原始的次序，为此使用索引法解决。

  #include 
  using namespace std;
  
  const int N=500010;
  const int M=10010;
  
  int n;
  int book[N];	// 记录a[i]是否露出水面,初始时全为0，全都露出水面
  vector<int> v[M];	// v[i][j] 是高度为i的山峰在原始数组中的位置
  
  int main()
  {
  	cin>>n;
  	int a;
  	for(int i=1;i<=n;++i){
  		cin>>a;
  		v[a].push_back(i);
  	}
  	
  	int res=0;
  	if(v[0].size()!=n){
  		book[0]=book[n+1]=1;	// 人为设置边界
  		int last=1;	// 上一个p（水平面）时的岛屿数，开始时，水平面最低，整个为一个山峰
  		
  		for(int i=0;i<M;++i){	// 水平面上升到i
  			if(!v[i].empty()){
  				int t=last;
  				for(int j=0;j<v[i].size();++j){
  					book[v[i][j]]=1;	// 水面之下
                      // 若两则山峰均在水面之上，则山峰+1
                      // 若两侧山峰均在水面之下，则山峰-1
  					if(book[v[i][j]-1] && book[v[i][j]+1]) --t;
  					else if(book[v[i][j]-1]==0 && book[v[i][j]+1]==0) ++t;
  				}
  				res=max(res,t);
  				last=t;
  			}
  		}
  	}
  	cout<<res<<endl;
  	return 0;
  }
  

综上，不管是那种思路，大的方向是转化为水淹岛屿问题，以水平面分割为核心进行处理，思路一和思路三是很类似的，都是整个水平面移动进行计算，而思路二则是逐个对单个山峰进行水平面范围的约束。思路二最简洁。