【线性代数与矩阵论】矩阵的酉相似

矩阵的酉相似（合同变换）

2023年11月7日
#algebra

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1. 酉矩阵

设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ ，若 $A$ 满足
$$A^{\mathrm{H}}A=A{A}^{\mathrm{H}}=I$$
则称 $A$ 为酉矩阵（）。由定义可得
$$A^{-1}=A^{\mathrm{H}}$$
当 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ ，酉矩阵就是单位正交矩阵。
性质 若 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 是酉矩阵，则

1. $|\det A|=1$
2. $A^T,A^H,A^{-1}$ 仍为酉矩阵
3. 若 $B$ 也是酉矩阵，则 $AB$ 也是酉矩阵

显然，酉矩阵列向量是空间中一组标准正交基，这是酉矩阵的充要条件。

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2. 酉相似

设 $A,B\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ ，若存在酉矩阵 $U$ 使得
$$B=U^{-1}AU=U^{\mathrm{H}}AU$$
则称 $A$ 与 $B$ 酉相似。
相似变换与逆矩阵有关，相似变换前后的矩阵为相似矩阵。
合同变换与酉矩阵有关，合同变换前后的矩阵为合同矩阵。

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3. Schur分解定理

设 $\forall A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ ，若存在酉矩阵 $U$ 使得
T = U − 1 A U = U H A U = [ λ 1 t 12 ⋯ t 1 n 0 λ 2 ⋱ ⋮ 0 0 ⋱ t ( n − 1 ) n 0 0 0 λ n ] T=U^{-1}AU=U^ \mathrm HAU= \begin{bmatrix} \lambda_1 & t_{12} & \cdots & t_{1n} \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & t_{(n-1)n}\\ 0 & 0 & 0 & \lambda_n \end{bmatrix} T=U−1AU=UHAU= ​λ1​000​t12​λ2​00​⋯⋱⋱0​t1n​⋮t(n−1)n​λn​​ ​
其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $A$ 的特征值，即任意 $A$ 都可酉相似与一个上三角矩阵 $T$ 。

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4. 正规矩阵

设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 满足
$$A^{\mathrm{H}}A=A{A}^{\mathrm{H}}$$
则称A为正规矩阵。正规矩阵有以下类型：

1. 实对称矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n},A^{\mathrm{T}}=A$
2. 实反对称矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n},A^{\mathrm{T}}=-A$
3. 实正交矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n},A^{\mathrm{T}}A=A{A}^{\mathrm{T}}=I$
4. Hermit矩阵 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n},A^{\mathrm{H}}=A$
5. 反Hermit矩阵 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n},A^{\mathrm{H}}=-A$
6. 酉矩阵 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n},A^{\mathrm{H}}A=A{A}^{\mathrm{H}}=I$

正规矩阵不一定是以上六类矩阵。

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5. 酉相似对角化

设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ ，则A可酉相似对角化的条件是
$$A^{\mathrm{H}}A=A{A}^{\mathrm{H}}$$
即A为正规矩阵。方法如下：

1. 求出A的全部特征值，和相应的重数
2. 对这些特征值求特征向量
3. 对特征向量做schmidt正交化

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6. Hermit矩阵，反Hermit矩阵及酉矩阵的特性

设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ ，则

1. $A$ 是Hermit矩阵 $⟺$ $A$ 的特征值全是实数
2. $A$ 是反Hermit矩阵 $⟺$ $A$ 的特征值是 $0$ 或纯虚数
3. $A$ 是酉矩阵 $⟺$ $A$ 的特征值的模是 $1$
4. $\lambda$ 是 $A$ 的特征值， $x$ 是对应 $\lambda$ 的特征向量，则 $\bar{\lambda }$ 是 $A^{\mathrm{H}}$ 的特征值，对应 $\bar{\lambda }$ 的特征向量仍为 $x$

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7. Hermit矩阵的正定性

设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 是一个Hermit矩阵，如果
$$x^{\mathrm{H}}Ax>0,\forall x\in {\mathbb{C}}^n,x\ne 0$$
则称 $A$ 是一个正定的Hermit矩阵。
如果
$$x^{\mathrm{H}}Ax\ge 0,\forall x\in {\mathbb{C}}^n,x\ne 0$$
则称 $A$ 是一个半正定的Hermit矩阵。

设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 是一个Hermit矩阵，则下述条件等价

1. $A$ 是正定的Hermit矩阵
2. $A$ 的特征值全为正数
3. 存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A=P^{\mathrm{H}}P$
4. $A$ 的顺序主子式全为正数

设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 是一个Hermit矩阵，则下述条件等价

1. $A$ 是半正定的Hermit矩阵
2. $A$ 的特征值全为非负数
3. 存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A=P^{\mathrm{H}}P$

设 $A\in {\mathbb{C}}^{m\times n}$ ，则

1. $A^{\mathrm{H}}A$ 和 $A{A}^{\mathrm{H}}$ 的特征值全为非负实数
2. $A^{\mathrm{H}}A$ 和 $A{A}^{\mathrm{H}}$ 的非零特征值相同
3. $\text{rank}(A^{\mathrm{H}}A)=\text{rank}(A{A}^{\mathrm{H}})=\text{rank}(A)$

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