函数递归知识点与经典例题

目录

递归的概念 （什么是递归）

递归举例

 举例1：求n的阶乘

举例2：顺序打印一个整数的每一位 

递归与迭代

举例3：求第n个斐波那契数

---

递归的概念 （什么是递归）

递归是学习C语言函数绕不开的⼀个话题，那什么是递归呢？ 递归其实是⼀种解决问题的方法，在C语言中，递归就是函数自己调用自己。 写⼀个史上最简单的C语言递归代码：

#include 
int main()
{
	printf("hehe\n");
	main();
	return 0;
}

上述就是⼀个简单的递归程序，只不过上面的递归只是为了演示递归的基本形式，不是为了解决问 题，代码最终也会陷入死递归，导致栈溢出（Stack overflow）。 

这个是在VS2022上运行的结果。

这里就来解释一下什么叫栈溢出

在C语言中每一次函数调用，都要需要为本次函数调用在栈区申请一块内存空间来保存函数调用期间的各种局部变量的值，这块空间被称为运行时堆栈，或者函数栈帧。 函数不返回，函数对应的栈帧空间就一直占用，所以如果函数调用中存在递归调用的话，每一次递归函数调用都会开辟属于自己的栈帧空间，直到函数递归不再继续，开始回归，才逐层释放栈帧空间。 所以如果采用函数递归的方式完成代码，递归层次太深，就会浪费太多的栈帧空间，也可能引起栈溢出（stack overflow）的问题。我们以后在遇到的有些题目可能下意识想到的是函数递归，但是我们要考虑清楚函数递归是否会会导致栈溢出 

递归的思想： 把⼀个大型复杂问题层层转化为⼀个与原问题相似，但规模较小的子问题来求解；直到子问题不能再被拆分，递归就结束了。所以递归的思考方式就是把大事化小的过程。

递归中的递就是递推的意思，归就是回归的意思，接下来慢慢来体会。 

递归的限制条件：递归在书写的时候，有2个必要条件：

• 递归存在限制条件，当满足这个限制条件的时候，递归便不再继续。

• 每次递归调用之后越来越接近这个限制条件。

在下面的例子中，我们逐步体会这2个限制条件。

递归举例

 举例1：求n的阶乘

一个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。 自然数n的阶乘写作n!。

题目：计算n的阶乘（不考虑溢出），n的阶乘就是1~n的数字累积相乘。

分析和代码实现

我们知道n的阶乘的公式： n！ =  n ∗ (n − 1)!

例如：5！=1*2*3*4*5    4！=1*2*3*4

           5！= 4！*5     那么求5的阶乘就只要知道4的阶乘就可以了，而4的阶乘也可以这样分解下去，到最后，我们就只要求0的阶乘，而我们已经知道0的阶乘等于1，这个题目也就解决了。

这样的思路就是把一个较大的问题，转换为一个与原问题相似，但规模较小的问题来求解的。

#include 
int Fact(int n)//定义一个算阶乘的函数
{
	if (n == 0)//当n等于0的时候，0！== 1，否则，就是n * (n-1)!
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		return n * Fact(n - 1);
	}
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int ret = Fact(n);
	printf("%d\n", ret);
	return 0;
}

当然上面这个代码不考虑n取很大的数，因为n很大会导致栈溢出。

下面就给出这个代码的推演图：

这个就是递推和回归的过程。

举例2：顺序打印一个整数的每一位 

输入一个整数m，按照顺序打印这个整数的每⼀位。

比如： 输入：1234  输出：1 2 3 4 输入：520 输出：5 2 0

分析和代码实现

这个题目放在我们面前，首先想到的是，怎么得到这个数的每位位呢？ 如果n是一位数，n的每一位就是n自己，n是超过1位数的话，就得拆分每一位 1234%10就能得到4，然后1234/10得到123，这就相当于去掉了4 然后继续对123%10，就得到了3，再除10去掉3，以此类推不断的 %10 和 /10 操作，直到1234的每一位都得到。但是这里有个问题就是得到的数字顺序是倒着的 但是我们有了灵感，我们发现其实⼀个数字的最低位是最容易得到的，通过%10就能得到 那我们假设想写⼀个函数Print来打印n的每⼀位。

#include 
void Print(int n)
{
	if (n >= 10)
	{
		Print(n / 10);
	}
	printf("%d ", n % 10);
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	Print(n);
	return 0;
}

Print(1234) ==>Print(123) + printf(4) ==>Print(12) + printf(3) ==>Print(1) + printf(2) ==>printf(1)

直到被打印的数字变成一位数的时候，就不需要再拆分，递归结束。 

递归与迭代

递归是一种很好的编程技巧，但是也和很多技巧⼀样，也是可能被误用的，就像举例1⼀样，看到推导的公式，很容易就被写成递归的形式。

Fact函数是可以产生正确的结果，但是在递归函数调用的过程中涉及一些运行时的开销，运用不当可能会导致栈溢出。所以如果不想使用递归就得想其他的办法，通常就是迭代的方式（通常就是循环的方式）。

比如：计算n的阶乘，也是可以产生1~n的数字累计乘在⼀起的。

#include 
int Fact(int n)
{
	int i = 0;
	int sum = 1;
	for (i = 1; i <= n; i++)//当n等于0时不会进入
	{
		sum *= i;
	}
	return sum;
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int ret = Fact(n);
	printf("%d\n", ret);
	return 0;
}

上述代码是能够完成任务，并且效率是比递归的方式更好的。 

事实上，我们看到的许多问题是以递归的形式进行解释的，这只是因为它比非递归的形式更加清晰， 但是这些问题的迭代实现往往比递归实现效率更高。 当⼀个问题非常复杂，难以使用迭代的方式实现时，此时递归实现的简洁性便可以补偿它所带来的运行时开销。

举例3：求第n个斐波那契数

我们也能举出更加极端的例子，就像计算第n个斐波那契数，是不适合使用递归求解的，但是斐波那契数的问题通过是使用递归的形式描述的。

我们肯定要先来了解什么是斐波那契数。

斐波那契数列是第一二个数规定为1，从第三个数开始，该数是前面两个数之和。

即该数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，..... 

看到这公式，很容易诱导我们将代码写成递归的形式，如下所示：

#include 
//斐波那契数规定第一二个数是都是1，后面两个数则是由前面两个数相加而成
int Fib(int n)
{
	if (n >= 3)
	{
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
	}
	else//第一二个斐波那契数都是1
	{
		return 1;
	}
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int ret = Fib(n);
	printf("%d\n", ret);
	return 0;
}

当然，这个代码算比较小的数，还是可以算出来的，但是如果我们算稍微大一点的数就要算好久。当我们n输入为50的时候，需要很长时间才能算出结果，这个计算所花费的时间，是我们很难接受的， 这也说明递归的写法是非常低效的，那是为什么呢 ？

上面这张图是算第50个斐波那契数的时候要算前面几个数的次数，我们可以看到，连第45，44个斐波那契数都要重复算怎么多次，更何况第10，11.....

其实递归程序会不断的展开，在展开的过程中，我们很容易就能发现，在递归的过程中会有重复计 算，而且递归层次越深，冗余计算就会越多。我们可以测试一下：

#include 
int count = 0;//定义一个全局变量count，来统计计算次数
int Fib(int n)
{
	if (n >= 3)
	{
		if (n == 3)//计算Fib（3）的次数
		{
			count++;
		}
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
	}
	else
	{
		return 1;
	}
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int ret = Fib(n);
	printf("%d\n", ret);
	printf("count = %d\n", count);
	return 0;
}

上面是在VS2022上的运行的结果，我们可以看到只是计算第40个斐波那契数，第3个斐波那契数就计算了三千多万次，可想而知，这个效率怎么样。

那么我们就使用迭代的方法来解决。

我们知道斐波那契数的前2个数都1，然后前2个数相加就是第3个数，那么我们从前往后，从小到大计算就行了。

我们可以画一个图来分析：

#include 
int Fib(int n)
{
	int a = 1;
	int b = 1;
	int c = 1;//如果n等于1或者2，对应的斐波那契数都是1，因此c要初始化为1
	while (n >= 3)
	{
		c = a + b;
		a = b;
		b = c;
		n--;
	}
	return c;//这里返回b也是可以的，但是为了和题意更符合，我们就写c
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int ret = Fib(n);
	printf("%d\n", ret);
	return 0;
}

当然这个代码只能求比较小的斐波那契数（因为一个整形能存储的有限），我们的目的只是证明迭代的效率高。 

迭代的方式去实现这个代码，效率就要要出很多了。 有时候，递归虽好，但是也会引入一些问题，所以我们一定不要迷恋递归，适可而止就好。 

• 青蛙跳台阶问题

• 汉诺塔问题

以上2个问题都可以使用递归很好的解决，后面会讲！