从不确定性中寻找临界点

从老喻的文章《变量世界》中，看潜伏变量的发现与计算：

生活中有很多问题，这些问题看起来是很难量化的，充满不确定性，简单的看表面的信息很难做出科学的决策，必须更深一步才可能看清问题的本质。

决定问题最终答案的，不仅是那些关键变量，还有对关键变量的第二层计算。

下面我们来看一道有趣的硅谷面试题

以下两种条件，你可以任选其一：

1.给你一个篮球，你只有一次机会把它投入篮筐，只要投中了，就能得到 1000美元；

2.你可以投篮三次，但必须投中两次。如果你做得到，同样可以得到 1000美元。

你选择投一次，还是投三次？

这道题应该怎样考虑呢？我看到这道题时，第一反映是选择第二种条件，因为三次机会中有一次可以不中，但又一想假如我第一次就投中了，岂不是第一种条件更适合我，陷入僵局…

下面我们看看正确的推理过程：

把一次投篮命中的概率称为 p。

在第1种条件下，你有 p的机会赢取 1000美元。如果投不中，就什么也得不到。根据期望值计算，你有望赢得 1000 × p美元。

在第2种条件下，你连续投篮三次，但必须命中两次才能得到 1000美元。你投篮命中的概率仍然为 p，投篮失手的概率则为 1－ p。

算概率，最简单直观的方法，是穷举，列出全部可能性，然后使用最基本的原理计算即可。

依照第2种条件，会出现 2的三次方或 8种不同的结果。让我们把它们一一列出来，面试时你可以写在白板上。√意味着你命中了；空格意味着你失手了。

图片来自公号《孤独的大脑》

8种结果里有4种都可以赢到钱。

其中有3次错失一球，概率是p2（1－p），合计3×p2（1－p）；

如果你三投三中，概率为p3。

把这些全部加起来。3×p2（1－p），解得3p2－3p3。再加上一次p3，得3p2－ 2p3。

预期获得奖金为1000×（3p2－2p3）美元。

第1种条件的预期： 1000 × p美元

第2种条件的预期： 1000（ 3p2－ 2p3）美元

我们利用图形来形象地描述两种情况下的对比，如下：

图片来自公号《孤独的大脑》

倾斜向上的直线代表第 1种条件， S形曲线代表第 2种条件。如果命中的概率低于 50%，第 1种条件更好。若非如此，接受第 2种条件更好。

临界点就是50%。

所以，这个问题的关键是看你投篮命中率，如果你是一个球盲，那最好选择第一种条件，如果你是职业球员，最好选择第二种条件。

所以，这道题的正确答案是：糟糕的球手选 1，优秀的球手选 2。

这符合常理。糟糕的球手肯定不可能在两种条件下都赢钱。他必须把希望寄托在走了大运、一投命中上，这种事发生一次的概率显然比发生两次的概率大得多，就如“闪电不会两次都落在你头上。因此，糟糕的球手选第一种条件更好。

对于好球手，机会越多赚得越多。

生活中很多问题就像这道面试题一样，存在很多变量，仅仅根据表面的信息很难得出科学的答案，只有深入问题中的问题也许才能找到一个相对精确的量化值，只要你不断逼近问题的本质，一层一层剥开。

发现潜伏的变量以及计算方法，这时就会看到更加真实的世界。