DAY30：回溯算法332\51\37基本思路了解+总结

Leetcode: 332 重新安排行程

代码随想录

这道题目有几个难点：

• 一个行程中，如果航班处理不好容易变成一个圈，成为死循环，容易出现环路。
• 有多种解法，字母序靠前排在前面，让很多同学望而退步，如何该记录映射关系呢 ？一个机场映射多个机场，机场之间要靠字母序排列，一个机场映射多个机场，可以使用std::unordered_map，如果让多个机场之间再有顺序的话，就是用std::map 或者std::multimap 或者 std::multiset。在遍历 unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets的过程中，可以使用"航班次数"这个字段的数字做相应的增减，来标记到达机场是否使用过了。
• 使用回溯法（也可以说深搜） 的话，那么终止条件是什么呢？
• 搜索的过程中，如何遍历一个机场所对应的所有机场。

递归的逻辑

• 输入：航班数、航班的映射关系，输出：bool找到唯一一条通向叶子节点的路径
• 终止条件：机场数==航班数+1
• 逻辑：遍历一个机场对应的所有机场

class Solution {
private:
// unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets
unordered_map> targets;
bool backtracking(int ticketNum, vector& result) {
    if (result.size() == ticketNum + 1) {
        return true;
    }
    for (pair& target : targets[result[result.size() - 1]]) {
        if (target.second > 0 ) { // 记录到达机场是否飞过了
            result.push_back(target.first);
            target.second--;
            if (backtracking(ticketNum, result)) return true;
            result.pop_back();
            target.second++;
        }
    }
    return false;
}
public:
    vector findItinerary(vector>& tickets) {
        vector result;
        for (const vector& vec : tickets) {
            targets[vec[0]][vec[1]]++; // 记录映射关系
        }
        result.push_back("JFK"); // 起始机场
        backtracking(tickets.size(), result);
        return result;
    }
};

Leetcode：51 N皇后

代码随想录

基本要求

• 不能同行
• 不能同列
• 不能同斜线

基本思路

• 终止条件：找到叶子节点，就相当于把皇后都放进去了
• 输入：棋盘大小，输入到第几层，当前结果
• 判断是否合法，如果合法就放入皇后

时间复杂度: O(n!)

空间复杂度: O(n)

class Solution {
private:
vector> result;
// n 为输入的棋盘大小
// row 是当前递归到棋盘的第几行了
void backtracking(int n, int row, vector& chessboard) {
    if (row == n) {
        result.push_back(chessboard);
        return;
    }
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
            chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
            backtracking(n, row + 1, chessboard);
            chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
        }
    }
}
bool isValid(int row, int col, vector& chessboard, int n) {
    // 检查列
    for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
        if (chessboard[i][col] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 45度角是否有皇后
    for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 135度角是否有皇后
    for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
public:
    vector> solveNQueens(int n) {
        result.clear();
        std::vector chessboard(n, std::string(n, '.'));
        backtracking(n, 0, chessboard);
        return result;
    }
};

Leetcode: 37 解数独

代码随想录

基本思路

• 因为解数独找到一个符合的条件（就在树的叶子节点上）立刻就返回，相当于找从根节点到叶子节点一条唯一路径，所以需要使用bool返回值。
• 遍历完所有的结构就返回
• 一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性！因为如果一行一列确定下来了，这里尝试了9个数都不行，说明这个棋盘找不到解决数独问题的解！那么会直接返回。

class Solution {
private:
bool backtracking(vector>& board) {
    for (int i = 0; i < board.size(); i++) {        // 遍历行
        for (int j = 0; j < board[0].size(); j++) { // 遍历列
            if (board[i][j] == '.') {
                for (char k = '1'; k <= '9'; k++) {     // (i, j) 这个位置放k是否合适
                    if (isValid(i, j, k, board)) {
                        board[i][j] = k;                // 放置k
                        if (backtracking(board)) return true; // 如果找到合适一组立刻返回
                        board[i][j] = '.';              // 回溯，撤销k
                    }
                }
                return false;  // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false
            }
        }
    }
    return true; // 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了
}
bool isValid(int row, int col, char val, vector>& board) {
    for (int i = 0; i < 9; i++) { // 判断行里是否重复
        if (board[row][i] == val) {
            return false;
        }
    }
    for (int j = 0; j < 9; j++) { // 判断列里是否重复
        if (board[j][col] == val) {
            return false;
        }
    }
    int startRow = (row / 3) * 3;
    int startCol = (col / 3) * 3;
    for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++) { // 判断9方格里是否重复
        for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++) {
            if (board[i][j] == val ) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}
public:
    void solveSudoku(vector>& board) {
        backtracking(board);
    }
};

总结

解决基本问题

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

组合问题

• for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯不断调整结果集。
• 优化回溯算法只有剪枝一种手段。组合问题种剪枝的诀窍在于：寻找七点的时候有范围，如果这个七点到集合终止之间的元素已经不满足要求了，就没必要继续搜索了。
• startidx的使用，如果一个集合求组合的话，就需要startidx，如果各个集合之间相互不影响，就不需要
• 树枝和树层的去重

切割问题

• 模拟切割线，获取终止条件和基本逻辑

子集问题

• 在树形结构种就是收集所有节点的结果。一般不需要终止条件。
• 去重+找特定的子集

排序问题

• 一般需要used数组来记录那些元素已经使用过了

去重问题

去重是一个很多题目都需要用到的手段

• 可以排序进行判断，通用模板
• 不能排序，根据used数组通过逻辑来去重

图论拓展

hard难题，需要拓展思维

棋盘问题