我们在初一上的时候，已经学习过整式以及整式的分类。是的，整式可以分成整式以及分式，而这个区别也是显而易见的。分式中，分母上是有字母的，而在整式中，分母上却是没有字母的。而且，整式是可以进行加减运算的，这也是我们在初一上学期，就已经知道的。那么整式可否进行乘法与除法运算呢，这就是在我们初一下学期所要探索的。
那么在探索，整式的乘法与除法之前，我们需要先知道整式的乘法与除法可以分成哪些类别。我们已经知道，整式是可以分成单项式与多项式，两类的。所以，整式的乘法可以分成这三类：单项式乘单项式；单项式成多项式；多项式乘多项式；而整式的除法则可以分成以下是几类：单项式除单项式；单项式除多项式；多项式除单项式；多项式除多项式。但是由于在探索单项式除多项式，以及多项式除多项式的时候，会出现我们还会涉及到分式，所以初一的我们暂时先不涉及这两类整式的除法。
而在我们学习的第一步，我们探索的是单项式乘单项式。而单项式乘单项式中最基础也是最简单的，就是同底数幂的乘法。
首先我们看这个算式：。这道题就是同底数幂的乘法的一道典型题，这里的与方就是一对同底数幂。在这两个幂中，两数的底数都是相同的，也就是都是a。而这两个同地数幂的相乘，该如何运算呢？
其实这可以用我们在小学就学过乘法分配律。这里其实可以变成m个a相乘，则可以看作是n个a相乘。两者乘起来，就是n+m个a相乘，也就是。根据这个，我们就可以得到这样一个法则：同底数幂乘法，底数不变，指数相加。这就是我们得到的同底数幂乘法法则，而我们可以通过在小学同样学过的乘除互逆，得出同底数幂的除法的法则。
通过同底数幂乘法的法则，我们知道：。那么，通过乘除互逆我们可以得到这样的等式：am+n÷an= am，我们也就可以总结出同底数幂除法法则：同底数幂除法，底数不变，指数相减。这是用乘除互逆得出的同底数幂的除法法则。那么如何用代数推导出来呢？其实也很简单。
看这样一个问题：这里，我们同样可以把这个幂的形式的算式，转化成乘法形式。n个a相乘的积分之m个a相乘的积。然后根据：分数上下同除同一个不为零的数，分数大小不变的原则。我们可以将这个分数的上下同时除以n个a相乘的积。这时分母的部分变为了一。而分子的部分，原先有那m个a相乘，现在除掉n个a，所以就还剩m-n个a相乘，也就是
这里，我们可以拓展出很多新的法则。举例来说，如果这个同底数幂除法，该如何运算呢？这里有两种方法，第一种使用我们刚刚得到的同底数幂除法法则。也就会得到 2-1。但是如果把这个同底数幂除法转化为分数形式，又会变为.也就是1/2.在这两种算法上，都找不到任何问题，两者都是成立的。那么，为了避免逻辑混乱。我们不得不承认2-1=1/2.当然，这只是特里，如果我们把这里的2换成a，把-1换成-n，通过同样的额方法就会得到：
这里在看一个例子：.这个同底数幂除法我们依然可以用两种方法进行计算。一种使用我们的道的同底数幂除法法则，也就会将原式变为.但是另一方面，我们又可以将原式转化为分数的形式，也就是.而我们直到，任何不等于0的数字除以它本身都是1，所以我们又可以被迫得出：这一结论。当然，这里的a是不能等于0的，因为0是不能做除数的。
学习完同底数幂乘法以及同底数幂除法之后我们紧接着开始学习了积的乘方，幂的乘方，以及和的乘方与差的乘方。其实这几类都可以归类为幂的变形。
首先看这个幂：，在这个幂中，底数是一个字母a。那我们把这个底数也换成一个幂，比如说am可以吗？当然是可以的，在这个变形后，我们就得到了一个幂的乘方，也就是 ，那么这个幂的乘方该如运算呢？
在我们解决同底数幂乘法以及同底数幂除法的时候，我们都是把一个算式从幂的形式转化为乘法的形式，最后再转化为幂的形式。而且解决幂的乘方也可以采用这思路。
首先我们可以将转化成n个相乘，而这其实是一个同底数幂的运算只不过是多了几个而已。这个运算应该最终等于a的n加m的次方，也就是。所以说，我们可以得出这样一个法则：幂的乘方运算，底数不变，指数相乘。
如果说把一个幂的底数换成幂的形式的话，是幂的乘方。那把一个幂的底数换成积的形式也就是乘法形式，就会是积的乘方，那么积的乘方如何运算呢？其实我们依然可以用我们探索幂的乘方，同底数幂乘法以及同底数幂除法的方式。
首先看一个积的乘方，也就是。这里，我们可以将原式转化成m个ab相乘，用我们小学就知道的乘法交换律，将其转化为m个a相乘的积乘以m个b相乘的乘积，也就是我们也可以由此得出积的乘方的运算法则：积的乘方等于乘方的积。
以上其实都是我们在探索整式乘法中的单项式乘以单项式，但是这都是单项式乘以单项式中非常特别的形式。那么单项式乘单项式普遍的法则是什么呢？也是有的，那就是：数相乘同底数幂相成。因为两个单项式相乘我们可以运用乘法交换律，将系数都移到一起，字母都移到一起，然后用同底数幂乘法法则把同类项乘到一起
这都是单项式乘单项式，那么单项式乘多项式要怎么运算呢？其实，我们只要运用乘法分配律，把单项式看做是一个成整体。然后分别用单项式乘以多项式中的每一项，就会变成我们熟悉的单项式与单项式的乘法
我们回到改变幂的底数这套逻辑上，如果我们把一个二次幂的底数改成和的形式，会怎么样呢？
先看就要一个式子：，这个算式可以转化成（a+b）（a+b）。这是我们卡可以把第二个（a+b）看作整体，分别乘以第一个（a+b）中的a与b。就会得到a（a+b）+b（a+b），最后化简出来后就是：。这其实是一个公式，我们要将这个公式给取个什么名字呢？观察原来的式子，这个式子是一个和的平方。我们可以按照这个特点，将此公式命名为完全平方和公式。这个公式用文字语言描述起来就是这样的：两数和的平方等于两数平方的和加两倍两数积。
如果说完全平方和公式是将底数换成了和的形式，那么可不可以将底数转换成差的形式呢？也是可以的，原先幂的形式就可以变为这样：，这个式子仍然用多项式乘多项式的方法，也就是乘法分配律,化简一下就可以得到：。而同样观察原式，我们发现那是一个差的平方，因此可以将这个公式命名为完全平方差公式。用文字语言描述起来是这样的：两数差的平方，等于两数平方的和减去两倍两数积。
其实，完全平方差公式是可以用完全平方和公式进行推到的。例如，其实就是，之后再利用完全平方和公式，就可以变成，也就是。这其实也是在用我们已有的知识去推到新的知识。
而这两个数字也就是完全平方和公式和完全平方差公式，合起来就是完全平方公式。这是其实一种特殊的多项式乘以多项式。而特殊的多项式乘以多项式还有一种公式。观察这个式子：（a+b）（a-b）通过乘法分配律，我们可以将几个式子转化为，其实原本这两个多项式乘起来应该有四个项的，但是因为其中两个项正好抵消掉了，所以最后只剩下了通过观察这个结果，我们发现这个得数是两个数平方的差。于是，我们就可以根据这个来命名这个公式：平方差公式。用文字语言描述这个公式就是：两数的和乘以这两个数的差等于两数平方的差。
其实我们所探索的完全平方公式，以及平方差公式都是特殊的多项式乘多项式。那么多项式乘多项式。那一般形式该如何运算呢？其实在探索完全平方公式，以及平方差公式，是我们已经说过了。也就是当两个多项式相乘的时候，我们可以把一个多项式，看作整体，与另外一个多项式中的每一项分别相成，然后就会得到若干个单项式乘多项式的和。这时，我们再次用乘法分配律，化简单项式与多项式的积，合并同类项，就可以得到多项式化简后的结果。其实多项式乘多项式，就是多次运用乘法分配律。
到这里，我们已经学习完了整式的乘法，那么多项式除以单项式快如何运算呢？看这样一个算式：.这该如何运算？对于这道题，我们首先要将其转化成分数形式，这么做最重要的原因就是我们要进行约分。但是分数的原理是上下同时除以一个不为零的数，而这里可以同时除以什么呢？所以我们首先要提取一个式子，让上下可以约分。就是要在在分母上提取一个因式2ab.之后，分母上就会变成2ab（1+2a）。这时分数上下就可以，同时除以ab也就是说，可以约分了。之后原式就会变为2（1+2a）这也就是这个多项式除以单项式最后化简出来的结果。
而多项式除以单项式这样，先把除法形式转化为分数形式，然后约分。其实在这里，我们涉及到了一点点因式分解。在我们把分子由“和的形式”转化成“积的形式”时，这其实就是因式分解。
其实，多项式除以多项式不是我们一点也无法涉及的。就比如说这个例子：.这里我们可以将分母上面的a2+2ab+b2变成（a+b）2，那么这时分数上下就可以同时约分，也就是除以a+b这个整体，原式也就变成了a+b.这是一个我们可以解决的多项式除以多项式，当然，这个只是特例。普遍的多项式除以多项式的运算方法我们却是还无法涉及
其实到这里，我们整式的学习就已经要结束了，所有精确的部分都已经学习完成。那么我们所学习的整式乘法可以帮助我们解决什么样的问题呢？
首先就是图形问题，在初一上学期我们仅仅会整式的加法，所以在图形问题上，只能解决周长问题。但是我们现在学习了整式的乘法，所以在几何图形问题上，就不只能去解决图形问题中的周长问题了。现在，面积问题，体积问题都已在我们的掌握之中。
那么，在我们学习完整式的乘法后，我们还会向哪些方向进行学习呢？其实在我们学习整式的乘法的过程中，已经初步接触了因式分解，也就是把若干式子的和转化成若干式子的积的形式。这个是我们八年级所要探索的。
而在文章的最开始，我就说过我们初一暂时不探索单项式除以多项式或者多项式除以多项式。因为这些运算会涉及到分式，也就是分母上有字母的式子，这些式子我们暂时还没办法运算。想要运算，我们还是要等到八年级。
但是何况不能现在就探索呢？其实，如果整式的乘除学习明白了，那么探索因式分解是很容易。所以在时间和能力都有富裕的时候，为何不去尝试呢？