CF557D Vitaly and Cycle 题解

前置

第一次独立做出来 *2000 的题，肯定是 cf 评分评高了。

题意简述

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，问最少添加几条边使图中有奇环，且添加边的方案有多少种。

解题思路

不难发现最多加 $3$ 条边。因为保证 $n\ge 3$，所以你可以随机选 $3$ 个点然后在它们之间加边，就有奇环了。

具体地说，我们分以下几种情况：

$\bullet$ $m=0$

这时候必须加 $3$ 条边，加边的方案数为 $\frac{n\ast (n-1)\ast (n-2)}{6}$。实质就是从 $n$ 个点中选三个点的方案数。

$\bullet$ 存在奇环

此时答案为 0 1。主要讲一下如何判断奇环。我们给 dfs 一个参数 $len$，走到一个点时把这个点的 $num$ 值设成 $len$，下次再走到时我们判断是否走了奇数步即可（不理解的可以看看代码）。

$\bullet$ 存在一个连通块包含至少三个点

这个时候我们只需要连 $1$ 条边。具体的，从连通块中找出距离为偶数且不相邻的点连边即可。注意这个时候我们连的边一定是在块内连，不可能将两个连通块连起来，因为将两个本不相连的连通块连起来不会产生环。

如何统计连边方案数？我们从连通块中任意一个点出发，对整个块黑白染色，连的这一条边要么是黑点和黑点，要么是白点和白点，直接 dfs 统计黑点白点数量然后计算即可。

$\bullet$ 其余情况

这个时候我们需要连 $2$ 条边，方案数为 $m\times (n-2)$。事实上有了前面几种情况铺垫，到这里时，已经保证连通块内点数不超过 $2$ 了。也就是说每一条边都是孤立的！我们假设某条边的两个端点是 $x,y$，此时我们找到一个 $z$，从 $x,y$ 分别向 $z$ 连一条边即可。共 $m$ 条边，对于每条边我们可以找到 $n-2$ 个上述的 $z$ 点，所以方案数就出来了。

代码示例

#include
using namespace std;
#define int long long
int n,m,vis[200010],cnt_0=0,cnt_1=0,ans=0,num[200010],flg=0;
vector<int> G[200010];
void dfs(int x,int len){
	if(vis[x]){
		if(len-num[x]>=3&&(len-num[x])%2){
			cout<<"0 1"<<endl;
			exit(0);
		}
		return;
	}
	vis[x]=1,num[x]=len;
	if(num[x]%2) cnt_1++;
	else cnt_0++;
	for(int v:G[x]) dfs(v,len+1);
}
signed main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	}
	if(m==0) return cout<<"3 "<<n*(n-1)*(n-2)/6<<endl,0;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i]) dfs(i,0);
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			cnt_0=cnt_1=0;
			dfs(i,0);
			if(cnt_0>1||cnt_1>1) flg=1;
			ans=ans+cnt_0*(cnt_0-1)/2;
			ans=ans+cnt_1*(cnt_1-1)/2;
		}
	}
	if(flg) cout<<"1 "<<ans<<endl;
	else cout<<"2 "<<m*(n-2)<<endl;
	return 0;
}