动态规划—摘花生问题

题目

【题目描述】

        Hello Kitty想摘点花生送给她喜欢的米老鼠。她来到一片有网格状道路的矩形花生地(如下图)，从西北角进去，东南角出来。地里每个道路的交叉点上都有种着一株花生苗，上面有若干颗花生，经过一株花生苗就能摘走该它上面所有的花生。Hello Kitty只能向东或向南走，不能向西或向北走。问Hello Kitty最多能够摘到多少颗花生

分析

          不能从当前点 去找下一个最优点 （贪心思想 当前局部最优解 不能代表全局最优解），后面未知路径可能有很大的数值，当前的选择对最终结果产生了影响

          思路：去找当前最优点是由之前那个最优点传递并得到的，将全局最优解拆分为无数个局部最优解后统一取最优解

        由题知Hello Kitty只能向东或向南走，不能向西或向北走。所以可以从起始点位的周边点开始，计算该周边点位经过最优路线所能得到的最多花生数量 ：

   该点花生数量+=MAX(该点上方花生数量，该点左方花生数量)。

   Array[i][j]+=max(Array[i-1][j],Array[i][j-1]);

注意：该数组空出了0行与0列，避免了数组的越界问题

        如图所示建立两个数组，一个数组存储花生田模型以及各点花生数量，另一个数组存储由第一个数组推算出来的各点最优总花生数量，则第二个数组的右下角即为最多花生数量。

改进1

        原始花生数据不需要保存利用，第二步所以存储花生数量的数组，可直接使用第一步原数组进行数据替换

题目拓展

        在原题目基础上，需要求出摘得花生最多的路径

拓展分析

        路径依旧不能从当前点选择下一个位置应该选哪条路径，那么已知最后的终点就是最大花生数量，我们可以反推该点是由哪个上层顶点传递过来的，随后回退到上一个路径，接着重复寻找该上层顶点是由哪个上上层顶点传递过来的，直到推回至原点，记录该逆推路径，反向输出即为摘花生原始路径。

        最优路径是由终点向前推，寻找每一个最大花生数顶点叠加而成，且反推路径只能向西或向北走，不能向东或向南走

  所以：在从终点开始计算

     该点左侧花生数量 > 该点上侧花生数量 ： 路径从左侧来

     该点左侧花生数量 <= 该点上侧花生数量 ： 路径从上侧来

    而且： 该点花生数量 - 上层路径花生数量 = 该点花生数量（路径标识）

改进2

        由于最后创建的路径数组只是为了存储花生路径并倒叙输出，所以改用递归方式倒叙输出路径，略去路径数组。

题解代码

// 不能从当前点 去找下一个最优点 （贪心思想 当前局部最优解  不能代表全局最优解）
#include
using namespace std;
int maxArray[100][100]; 		// 设置上限数组
int way[200];					// 设置路径数组
void recursion(int begin , int end ,int x,int y,int maxArray[100][100]);  // 声明前置函数


int main() {
	int row , column ;		// 建图 row 行 column 列
	cout<<"输入行数，列数\n";
	cin>>row>>column;

	// 一、得到花生分布数组与最大花生数量

	// 1、初始化花生田数组
	for(int i = 1 ; i <= row ; i++) {
		for(int j = 1 ; j <= column ; j++) {
			cout<<"输入maxArray["<>maxArray[i][j];
		}
	}
	
	cout<<"\n\n";
	// 展示花生田
	for(int i = 0 ; i <=row ; i++){
		for(int j = 0 ; j <=column ; j++){
			cout<<"\t"< maxArray[x-1][y]) {
			recursion(begin+1,end,x,y-1,maxArray);
			cout<<"\t"<