【算法】闇の連鎖（树上差分，LCA）

题目

传说中的暗之连锁被人们称为 Dark。

Dark 是人类内心的黑暗的产物，古今中外的勇者们都试图打倒它。

经过研究，你发现 Dark 呈现无向图的结构，图中有 N 个节点和两类边，一类边被称为主要边，而另一类被称为附加边。

Dark 有 N–1 条主要边，并且 Dark 的任意两个节点之间都存在一条只由主要边构成的路径。

另外，Dark 还有 M 条附加边。

你的任务是把 Dark 斩为不连通的两部分。

一开始 Dark 的附加边都处于无敌状态，你只能选择一条主要边切断。

一旦你切断了一条主要边，Dark 就会进入防御模式，主要边会变为无敌的而附加边可以被切断。

但是你的能力只能再切断 Dark 的一条附加边。

现在你想要知道，一共有多少种方案可以击败 Dark。

注意，就算你第一步切断主要边之后就已经把 Dark 斩为两截，你也需要切断一条附加边才算击败了 Dark。

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 M。

之后 N–1 行，每行包括两个整数 A 和 B，表示 A 和 B 之间有一条主要边。

之后 M 行以同样的格式给出附加边。

输出格式

输出一个整数表示答案。

数据范围

N≤1e5,M≤2e5，数据保证答案不超过2^31 - 1

输入样例：

4 1
1 2
2 3
1 4
3 4

输出样例：

3

思路

第一步：建树，使用主要边建立一棵树。

第二步：给每一个点标记自身层次。

第三步：初始化差分数组

第四步：还原差分数组

如下图

黑色为主要边，红色为附加边5-9。

建立差分数组的时候，d[9] --,d[5] --,d[2] -= 2;

恢复差分数组之后，树的边权如上图所示。

边权大于等于1的主要边被切断之后，还有附加边使得两边的团连通。

代码

#include
using namespace std;
const int N = 1e5  +10,M = 2 * N;
int n,m;
int h[N],ne[M],e[M],d[N],idx;
int fa[N][16];
int depth[N];
int ans;

void add(int a,int b)
{
    ne[idx] = h[a],e[idx] = b,h[a] = idx ++;
}

void bfs()
{
    memset(depth,0x3f,sizeof depth);
    depth[0] = 0,depth[1] = 1;
    queue q;
    q.push(1);
    while(!q.empty())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(depth[j] > depth[t] + 1)
            {
                depth[j] = depth[t] + 1;
                q.push(j);
                fa[j][0] = t;
                for(int k = 1; k <= 15; k ++)
                {
                    fa[j][k] = fa[fa[j][k - 1]][k - 1];
                }
            }
        }
    }
}

int lca(int a,int b)
{
    if(depth[a] < depth[b]) swap(a,b);
    for(int i = 15; i >= 0; i --)
    {
        if(depth[fa[a][i]] >= depth[b])
            a = fa[a][i];
    }
    if(a == b) return a;
    for(int i = 15; i >= 0; i --)
    {
        if(fa[a][i] != fa[b][i])
        {
            a = fa[a][i];
            b = fa[b][i];
        }
    }
    return fa[a][0];
}

int dfs(int u,int father)
{
    int res = d[u];
    for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if(j == father) continue;
        int s = dfs(j,u);
        res += s;
        if(s == 0) ans += m;
        else if(s == 1) ans ++;
    }
    return res;
}

int main()
{
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i < n; i ++)
    {
        int a,b,c;
        cin >> a >> b;
        add(a,b);
        add(b,a);
    }
    bfs();
    int mm = m;
    while(mm --)
    {
        int a,b;
        cin >> a >> b;
        int f = lca(a,b);
        d[a] ++,d[b] ++,d[f] -= 2;
    }
    dfs(1,-1);
    cout << ans << endl;
}

难度：困难

时/空限制：1s / 64MB

来源：《算法竞赛进阶指南》

算法标签 图论  树上差分  LCA

题目来自：352. 闇の連鎖 - AcWing题库