非线性系统【八】|线性系统的能观性与能控性

非线性系统【八】|线性系统的能观性与能控性

对于如下系统
$$\begin{gathered} \dot{X}=AX+BU \\ Y=CX \end{gathered}$$
其中$X$为状态量，$Y$为观测量

能控性

格拉姆矩阵判据

系统完全能控的充要条件是存在常数 $T>0$，使得矩阵
$$W_c(0,T)={\int }_0^T{e}^{-At}B{B}^T{e}^{-A^{T}t}dt$$
是非奇异的

秩判据

状态完全能控的判据是能控性矩阵秩为n
$$S_c=[B,AB,A^{2}B,...,A^{n-1}B]$$

对角线规范性判据

若$A$阵为对角阵且特征值两两互异，则状态完全能控的充要条件是$B$阵中没有一行的元素全为零。

约当规范性判据

若$A$阵为约当阵，且每个约当块所对应的特征值均不同，则状态完全能控的充要条件是$B$阵中与每个约当块的最后一行相对应的各行中没有一行的元素全为零。

能观性

格拉姆矩阵判据

系统完全能观的充要条件是存在常数 $T>0$，使得矩阵
$$W_o(0,T)={\int }_0^T{e}^{-At}C{C}^T{e}^{-A^{T}t}dt$$
是非奇异的

秩判据

状态完全能控的判据是能观性矩阵秩为n
$$S_O=[C,CA,C{A}^2,...,C{A}^{n-1}{]}^T$$

对角线规范性判据

若$A$阵为对角阵且特征值两两互异，则状态完全能控的充要条件是$C$阵中没有一列的元素全为零。

约当规范性判据

若$A$阵为约当阵，且每个约当块所对应的特征值均不同，则状态完全能控的充要条件是$C$阵中与每个约当块的第一列相对应的各行中没有一列的元素全为零。