代码随想录算法训练营Day41|343. 整数拆分、96.不同的二叉搜索树

目录

343. 整数拆分

前言

思路

算法实现

96.不同的二叉搜索树

前言 

思路

算法实现

总结

---

343. 整数拆分

题目链接

文章链接

前言

         本题要使得整数拆分后的乘积最大，使用动态规划求解难在递推公式的推导。

思路

        利用动态规划五部曲来进行实现：

1.确定dp数组以及下标的含义：

        dp[i]：拆分数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

2.确定递推公式：

        思考dp[i]最大乘积是如何得到的？一种是j * (i - j)直接相乘，另一种是j * dp[i - j]，相当于是拆分i - j，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

        所以递推公式dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j})；

        因为在取最大值时，取得的最大值还要与当前的dp[i]值比较大小，才能确定较大值。

3.dp数组初始化：

        严格意义上来说，dp[0]、dp[1]就不应该初始化，因为0和1不能拆分，没有实际意义。从dp[2] = 1开始初始化。

4.确定遍历顺序：

        有递推公式可知，dp[i]是依靠dp[i - j]和i - j得到的，所以遍历顺序一定是从前向后遍历，现有dp[i - j]再有dp[i]。

5.举例推导dp数组

        自己给n赋个值代入即可。

算法实现

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector dp(n + 1);
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++){
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++){
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

96.不同的二叉搜索树

题目链接

文章链接

前言 

        本题使用动态规划求解时依然难在递推公式的求解，可以先举几个例子，画画图，从中查找规律。

思路

        n为1的时候有一棵树，n为2有两棵树，这个是很直观的。当n为3时，当1为头结点的时候，其右子树有两个节点，这两个节点的布局和n为2时是一样的；当3为头结点的时候，其左子树有两个节点，此时这两个节点的布局和n为2时也是一样的；当2为头结点的时候，其左右子树都只有一个节点，布局和n为1时是一样的。

        发现到这里，其实我们就找到了重叠子问题了，其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式。

        dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量，所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]。

        此时我们已经找到递推关系了，那么可以用动规五部曲再系统分析一遍。

1.确定dp数组以及下标的含义：

        dp[i]：1到i节点组成的二叉搜索树的个数dp[i]。

2.确认递推公式：

        在上面的分析中，其实已经看出其递推关系， dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]，j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。

        所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

3.dp数组如何初始化

        初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]。从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。所以初始化dp[0] = 1。

4.确认遍历顺序

        首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。

5.举例推导dp数组

        略

算法实现

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++){
            for (int j = 1; j <= i; j++){
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

总结

        今天的动态规划题难在递推公式的推导，当递推公式较难想时，可以通过举例的方式观察规律。