多重背包问题II

多重背包II

简单的多重背包详见多重背包I
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 0 提示：
本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10

分析：

多重背包优化，二进制变成01背包，减小时间复杂度，主要原理就是十进制转换为2进制表示。

#include
using namespace std;

const int N = 12010, M = 2010;

int n, m;
int v[N], w[N]; //逐一枚举最大是N*logS
int f[M]; // 体积

int main()
{
	cin >> n >> m;
    int cnt = 0; //每一个物品分为cnt组，分组的组别
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	int k=1,a,b,s;// k:组别里面的个数
    	cin>>a>>b>>s;
    	while(k<=s){
    		cnt++;//组别先增加
    		v[cnt]=a*k;//整体体积
    		w[cnt]=b*k;// 整体价值
    		s-=k;// s要减小
    		k*=2;// 组别里的个数增加
		}
		//若这一类物品中还有剩余物品 
		if(s>0){
			cnt++;
			v[cnt]=a*s;
    		w[cnt]=b*s;
		}
	}
	n=cnt;
	for(int i=1;i<=n;i++){//01背包优化
		for(int j=m;j>=v[i];j--){
			f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

差不多的原理，但看起来简洁一些

#include
using namespace std;
//多重背包可变成01背包 
const int N = 1010, M = 2010;

int n, m;
int v[N], w[N],s[N]; //逐一枚举最大是N*logS
int f[M]; // 体积

int main()
{
	cin >> n >> m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    	for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int k=1;k<=s[i];k*=2){//多重背包二进制优化 
				for(int j=m;j>=k*v[i];j--){
					f[j]=max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);
				}
				s[i]-=k;
			}
			if(s[i]!=0){//最后一个组别 
				for(int j=m;j>=s[i]*v[i];j--){
					f[j]=max(f[j],f[j-s[i]*v[i]]+s[i]*w[i]); 
				}
			}
		} 
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}